宁波大学 2025 第一题：求 f(x,y)=4x+xy^2+y^2 在区域 x^2+y^2≤1 上的最大值和最小值

dodonaomikiki

数学分析专业课的考试题或许有点难度哦！

dodonaomikiki

数学分析也木有学过，
如果y=f(x,y)，图形倒是蛮漂亮·！
呵呵，但我觉得这样想应该是错误的！




~~~~~~~~~~~~~~~
我想f(x,y)应该等于新创的一个参数，比如Z.
Z=f(x,y)
那就更不晓得怎么搞啦！

liangchuxu

一个极值点

lihp2020

数学分析也木有学过  建议 就学一下
其实和高等数学差不多

我也在学 (以前学过 全忘完了)
反正不能用 转换成 一个函数   

dodonaomikiki

如果木有园条件，
或许用拉格朗日还快一些！



但是提供啦“”园条件“”，
我怎么感觉有一种不用白不用的感觉！

dodonaomikiki

\(

根据liangchuxu老师的作法，              \\
进行思考，              \\
循迹而作已经不难矣！              \\
\)


\(
set:   t=cos  \theta              \\

\begin{equation}
\begin{split}
f(t)=-t^3-t^2+5t+1 \\
f'(t)=-3t^2-2t+5            
=(-3t-5)(t-1)            
=-(3t+5)(t-1)
\end{split}
\end{equation}
\)



\(
我们极易发现一个问题，              \\
就是t=1的时候，一阶导数=0，              \\
这表明原函数取到极值！              \\
接下来，这个t只能往下走，也就是说t \in [-1,1]              \\
这样一来我们发现一阶导数始终大于鸭蛋O的，              \\
表明在这个区间也就是在t的取值范围内，原函数一直在递增！              \\
\)


\(
\Longrightarrow      

\begin{align}
t=+1，   f(t)_{max}=-1-1+5+1=4  \\
t=-1,f(t)_{min}=1-1-5+1=-4
\end{align}
    \)

luyuanhong

波斯猫猫

求 f(x,y)=4x+xy^2+y^2 在区域 x^2+y^2≤1
上的最大值和最小值.

不等式法：由条件有 y^2=(f-4x)/(x+1)，

∴ (x+1)(4x-f)≤0，即-1≤x≤f/4，或f/4≤x≤-1.

又由 x^2+y^2≤1有-1≤x≤1，

∴ fmax=4，fmin=-4.

注：数学本科数分题，初等方法秒杀.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

liangchuxu

带点偏导味道