P1,P2,P2 在棱长 2 正方体面 ABFE,BCGF,EFGH 的内切圆上，求 max|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|

dodonaomikiki

问题见图，提供啦残破答案



请看一哈谢谢！

dodonaomikiki

最小边计算起来应该没啥难度也！
\(     \frac{  最小边x  }{         \sqrt{2}    }=\frac{   \sqrt{2} -1  }{         \sqrt{2}    }     \\
x= \sqrt{2} -1    \\
\Longrightarrow        最小值=3个最小边    \\
=3（   \sqrt{2} -1  ）    \\


...\)   

dodonaomikiki

我进行啦尝试性计算！
对标答案，我的计算错误！挺让我泄气的~~~~~~我不晓得我错误在哪里~~~
观察易得
\(
\lambda\beta=\lambda\kappa     \\
\lambda\beta在底边上投影的的长     \\
=\sqrt{                       （1-\frac{  \sqrt{2}-1   }{ \sqrt{2}}   ）^2+（2-\frac{  \sqrt{2}-1   }{ \sqrt{2}}   ）^2   }                 \\
= \sqrt{     1+ \frac{  3-2\sqrt{2}   }{ 2}   -  \sqrt{2}(   \sqrt{2}     -1)      +4+ \frac{  3-2\sqrt{2}   }{ 2}   -  2\sqrt{2}(   \sqrt{2}     -1)                      }                  \\
=\sqrt{    5+3-2 \sqrt{2}- 3 \sqrt{2}  (   \sqrt{2}     -1)               }               \\
=\sqrt{    8-2 \sqrt{2}- 6+3 \sqrt{2}                }               \\
=\sqrt{   2+ \sqrt{2}}                \\


\)



\(
\Longrightarrow     \lambda\beta    \\
=\sqrt{   2^2+(   \sqrt{   2+ \sqrt{2}}           ) ^2                           }    \\
=\sqrt{  2+     \sqrt{2}+4                     }    \\
=\sqrt{   6+\sqrt{2}                      }    \\

\Longrightarrow     最大值
=2\sqrt{   6+\sqrt{2} } +\sqrt{2}    \\



\)

【是为错误答案吧·！正在思考错在哪里】

dodonaomikiki

又进行拉错误计算
观察易得
\(
WJ=WZ    \\
对WJ展开计算：     \\
=\sqrt{                       （\frac{  \sqrt{2}-1   }{ \sqrt{2}}   ）^2+（2-\frac{  \sqrt{2}-1   }{ \sqrt{2}}   ）^2   }                 \\
= \sqrt{    2   \bullet \frac{  3-2\sqrt{2}   }{ 2}      +4  -  2\sqrt{2}(   \sqrt{2}     -1)                      }                  \\

=\sqrt{   3-2 \sqrt{2}+4-4+2 \sqrt{2}                }               \\
=\sqrt{   3}                \\


\)



\(


\Longrightarrow     最大值
= 2\sqrt{3}+\sqrt{4+4}        \\
=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}         \\


\)

【是为错误答案吧·！正在思考错在哪里】

dodonaomikiki

这种就比较接近啦！
易得：\(3\sqrt{3}+3   


\)

dodonaomikiki

最大值参考答案！
题源：21年CMO一试DI第十一题的纯几何解法

dodonaomikiki

当时我的错误猜想：
图形上看，
所取的内切点，应该在特殊点那里“转过去一些”

dodonaomikiki

在根号2为半径的圆周取点，
容易得出周长最大的最大三角形！





有兴趣的话，
应该可以继续探索，
这些点落在正方体上的什么位置！
有兴趣的同学可以继续探索~~~~~~~~~~~~~

dodonaomikiki