中考数学压轴题究竟有多难——基于两道平面几何解答题的分析

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中考数学压轴题究竟有多难——基于两道平面几何解答题的分析

原创  迎理论法  迎理论法  2026 年 2 月 4 日 18:29  江西

解出中考数学压轴题往往被视为是一个学生的聪明、天赋的表现，然而，经过一定的科学训练，中考数学压轴题往往容易解出。一些学生在做中考数学试卷时，可能会产生这样的感觉，即简单的题很简单，大多数学生都做得出，有明显的中档题，也有明显的难题，而这部分题目注重的是题目的区分度。中档题和难题在平时的训练之中做得较少，而且老师可能不会每一次都细讲，参考答案写得也比较简洁，所以，一些学生如果想提高自己的分数，可能需要付出更多的成本，一些学生则放弃探究这些题目，认为只有聪明、有天赋的同学才能做出来，而这些同学的聪明、天赋是不可解释和不可习得的，所以，自己可能永远解不出这类题，也没有必要去尝试解答这些题目。这种心态，往往导致数学成绩不高、对数学产生的畏难情绪难以消除、初中数学学习难以为高中数学学习打下良好基础、总分不理想以至于不能实现一定的升学目标等不利后果。然而，这种心态的现实基础，即认为只有基于聪明和天赋才能解出中考数学压轴题，是不科学的，或者说，这种心态所依据的前提性的观点，是不科学的，实际上，只要经过一定的科学训练，中考数学压轴题往往容易解出，而且，客观上，中考数学压轴题也是基于一定的数学方法、数学思维、数学知识解出的，是依靠知识、证据、方法和思维解出的，因而科学方法是行之有效的，是可以认识、可以解释的，它往往并不依赖聪明才智或者天赋。为了回答中考数学压轴题究竟有多难这一问题，本文基于两道平面几何解答题展开分析，从多个角度回答中考数学压轴题的难度这一问题。

中考数学解答题一般包括计算题、证明题，考查的内容包括化简代数式、作图、统计与概率、平面几何、三角函数、一次函数、反比例函数、二次函数、应用题，应用题包括三角函数应用题、二次函数应用题、解方程应用题，等。中考数学解答题主要考平面几何和函数，且主要考二次函数。

第 1 题：2025年江西数学中考第 23 题



第 1 小题的难点在于理解“放大”这一概念，应该用相似和比例的方法去做第1小题，知道这里的面积之比就是线段之比。第 2 小题和第 3 小题的解题方法是一样的，运用三角形相似的知识就可以解出答案，第 3 小题的难点在于说明比值与旋转角无关的说明方法，这个说明方法就是，证明或者算出该比值为一个常数，不带有旋转角 α 即可。第 4 小问要求说明BA，BE 和 BF 之间的数量关系，这个数量关系就是加减乘除的关系，说明的方法就是给出一个等式或者方程，该等式或方程含有且仅含有 BA , BE 和 BF ，难点在于如何给出这个等式或方程。在本道题之中，通过三角形相似，写出线段之间的比例关系，再通过线段之间的数量关系，例如 OA=OB 这些已知条件，对依据该比例关系得出的式子进行代换、化简，最终得出仅含有 BA , BE , BF的等式或方程，最终得出它们之间的数量关系。

第 4 小题思路：根据三角形 AFB 与三角形 AEO 相似，写出 BA , BF , OA , OE 之间的数量关系，再根据 BE=BO+OE ，OA=OB ，以及 OA , OB 与 AB 通过角 ABC 即角 β 建立的数量关系，用仅含有 BE 的代数式替换 BA : OA=BF : OE 之中的 OA 和 OE ，最终得出 BA , BE 和 BF 之间的数量关系。








第 2 题：2023 年江西数学中考第 23 题



第 1 小题难度不大，在一般情况下，可以通过作辅助线并证明三角形全等的方法，计算出 S1 和 S 的关系，即 S1 : S=1/4 ，重叠部分的面积为 1 。第 2 小题，当 BM=CN 时，也可以通过作辅助线和证明三角形全等的方法，证明三角形 OMN 的形状，由于其有一个角为 60 度，又有两条腰相等，且该角为两条相等的腰的夹角，所以该三角形为等边三角形，通过三角函数以及把四边形进行分割等方法，可以求出四边形 OMCN 的面积为：√3-1 。

第 3 小题的难度也不大，只需要把 S2 可以取最大值和最小值的情形都找出来即可，这是这一道题的解题难点，不仅要找出可以取最大值和最小值的情形，还要进行一定的证明，尽管题目并不要求给出任何计算过程或者证明过程，但是在算答案和进行验算的时候，还是需要进行一定的计算和证明的，从而可以保证答案的正确性和严谨性。


图 9


图 10

图 10 左图的情形为 S2 最小的情形，图 10 右图的情形为 S2 最大的情形。理由：S2 为阴影部分的面积，正方形的边长为 2 ，面积为 4 ，以正方形的中心 O 为圆心画一个圆，圆的半径如图 9 所示，该圆与正方形有 8 个交点，且这 8 个交点为圆的 8 等分点。此时，把这些交点与圆心相连，再把相邻两个交点连接起来，形成 8 个全等的等腰三角形。当 S2 与等腰三角形 OMN 的面积相等时，S2 取最小值，当 S2 与四边形 OMCN 的面积相等时，S2 取最大值。由于这些三角形均为全等三角形，所以，四边形 OMCN 的面积 = 三角形 OMN 的面积 + 三角形 CMN 的面积，综合整个图像可知，当直角三角板 PEF 与正方形围成的面积 S2 为三角形 OMN 时，S2 取最小值，当围成的面积为四边形 OMCN 时，S2 取最大值，三角形 OMN 的面积 < 三角形 OMN + 三角形 CMN 的面积 = 四边形 OMCN 的面积。如果把角 MON 设为 α ，那么就可以求出正确答案。




然而，这是一种最特殊的情况，可以用来验证答案的正确性，但如果题目要求用一般情形来说明答案的正确性，即角 MON 的大小并不是定值，而是锐角 α ，那么就要用一般情况来证明何时 S2 可取最大值，何时 S2 可取最小值。对于证明方法，一种方法为几何法，另一种方法为代数法，对于代数法，例如，可以通过建坐标系的方式，完成证明过程。

以上就是这 2 道压轴题的分析和解题过程，可以看出，要解出它们，并不需要用到在高中才学的知识，分析和解题所需的知识完全属于初中范围，可以说，要做出压轴题，从知识范围的角度来说，是不难的，但如果从数学思维和知识理解、应用的角度来说，以及从认识发展的一般规律、学习的阶段性这些角度来说，这些题还是具有较大难度的，不过，经过一定的科学训练，即便是压轴题，也往往容易解出。第1道大题中的第4问是求数量关系的题目，求数量关系是初中数学和高中数学的常规设问，所以求数量关系具有一般的方法，一种方法就是从已知的数量关系出发，通过代换、计算、配凑等方法，将已知的数量关系转换为目标线段或者目标式之间的数量关系，本题的解题方法就可以采用这种方法。第2道大题的第3小问要求找出取几何图形的面积的最大值和最小值的条件，这类问题也是一个常规问题，要求具有一定的图形直观能力和逻辑推理能力，先假设，后求证，也要求对三角函数等数学知识进行灵活运用，这道题的计算稍显抽象，多符号运算，而没有大量的具体的常数，因此，对计算能力也提出了一定的要求。

多年以后，回看这些题目，可以发现它们并没有多难，但是对于参加考试的学生来说，相对难度还是比较大。尽管具有较大的相对难度，经过一定训练，也能够做出这些题，训练的方向一是多做类似的题目，在平时加大训练，二是树立健康的解题心态，认识到即便是压轴题，也是用常规的数学知识和数学方法来解的，而不要未经尝试就放弃，或者在尝试的时候被非认知因素干扰。无论是求数量关系还是找出取最值的情形，均有一般的方法，且这些方法不止一种，实事求是地分析和解答问题，才是提高分数的科学方法。

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