也求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

春风晚霞

【题：】求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)
【解:】设\(a_n=\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)，则\(a_n=\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\sqrt[n]{\tfrac{n!}{n^n}}\)\(=\sqrt[n]{\tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot …\cdot\tfrac{n}{n}}\)，所以\(log a_n=log\sqrt[n]{\tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot …\cdot\tfrac{n}{n}}\)\(=\tfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n log\tfrac{k}{n}\)
由于\(\displaystyle\lim_{n \to\infty}\tfrac{1}{n}=0,\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{n}{n}=1\)，所以根据黎曼积分定义有\(log a_n =\displaystyle\int_{0}^1 log x dx\)\(=[xlog x-x]_0^1=-1\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(exp(\displaystyle\lim_{n \to \infty} log a_n）\)\(=e^{-1}\)

春风晚霞

elim畜生对该解法的批评是【春霞是反Weierstrass极限理论的. 连极限定义导致的直接结果lim n 非自然数都否认. 它否定不了本贴就扯解法不完整, 看看它的’完整解法’就知它就是个畜生：为什么那是黎曼和？为什么黎曼和的极限是黎曼和瑕积分？这些事情为什么不交待？】现回答于次，①、春风晚霞并不反对Weierstrass极限理论，反Weierstrass极限理论的是elim！众网友可参见春氏与e氏对Weierstrass极限定义的解读；②、lim n非自然数这是elim反现行数学的罪证春风晚霞多次（从正面、反面、侧面）证明了若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)则\(\mathbb{N}=\phi\)；③、为什么题解中的和是黎曼和？为什么黎曼的极限是黎曼极分？elim可参阅任何一本《数学分析》教科书关于黎曼积分（即定积分的定义）。春风晚霞是在“科普”该题解法，不是在写教科书，〖根根黎曼积分定义〗一语己经完全回答了elim之疑，故不再回答！elim对范、曹、谢、侯等网友罗织的罪名，恰好暴露elim畜生不如！