曾帮助三位学者获得诺贝尔奖的数学定理

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曾帮助三位学者获得诺贝尔奖的数学定理

原创  谭时勋  谭天悦地  2026 年 2 月 16 日 20:02  湖南

布劳威尔不动点定理的推广应用对经济学帮助甚大，并已在三位诺贝尔经济学奖得主的研究中发挥了关键作用。



这段往事要从冯·诺伊曼说起。1932 年，冯·诺伊曼在普林斯顿主办了一个名为“关于经济学的一个方程组及布劳威尔不动点定理的一个推广”的讨论班。在讨论班上，他概述了如何利用不动点理论来解决经济学模型中均衡点的存在性问题。

这一概念的推广和应用，导致了 K·阿罗于 1972 年以及 G·德布鲁于 1983 年获得诺贝尔经济学奖。其后，在应用于博弈论的研究中，布劳威尔不动点定理又帮助数学家约翰·纳什在 1994 年获得了诺贝尔经济学奖。

此外，值得一提的是，布劳威尔不动点定理在经济学领域的应用也为中国学者所关注，并由著名数学家华罗庚先生向中国经济学界推广介绍。



设想有两张形状和大小完全相同的纸，在把其中一张放到另一张上面时，此二者可完全对齐。此时，上面一张纸上的任意一点必会与其下一张纸的某个点相对应，我们可以想象下面这张纸的那个点是活的，并有记忆，它会牢牢记住那个曾处于自己正上方的另一张纸上的点。

而后，你可以将上面那张纸拿起来，并把它不加撕扯地捏皱成一团，再把这张捏成团的纸放回下面那张纸的上面。当然，你需要保证放回去的时候，这张纸全部处于下面那张纸的范围之内。此时，在这张捏成团的纸上必定存在一个点，此点正对应于下方另一张纸上那个曾经记住自己的点。而下面那个有记忆的点同样会发觉，在这番折腾之后，原先那个被自己牢记的点竟然又出现在了自己的正上方。



布劳威尔不动点定理在你搅动咖啡时也适用。假设你可以观察到咖啡杯里每个分子的位置，你开始搅动咖啡，然后停下来，让它慢慢恢复平静。之后，这个杯子里至少有一个分子，其位置可与它在咖啡被搅动前所处的位置完全重合。也就是说，你不可能完全搅乱你的咖啡。此外，如果你把回到原位的那个分子推出它原来的位置，那么另一个分子就又会回到它自己的起始位置。总之，无论你搅动多久，总有至少一个分子会回到它原来的位置。



布劳威尔不动点定理是拓扑学中的一个基本结果，在经济学中具有重要而广泛的应用，尤其是在证明各类模型中均衡点的存在性方面。该定理指出，任何一个非空、紧致的凸集到其自身的连续映射都至少存在一个不动点。其中，非空可以理解为保证有符合规定的参与者；紧致可以粗略地理解为一张其上没有洞或者裂痕并且有明确边界的纸；而凸集则是这样一个集合，任何连接凸集中两个点的线段必在此凸集之内。

或者，也可以把此定理形式的理解为 f(x)=x ，即这个神秘的黑箱将保证存在一个输入与输出相同的情况。

在经济学中，该定理最著名的应用之一是证明竞争性市场中一般均衡的存在性。例如，在一个包含多种商品和多个消费者的纯交换经济中，可以通过布劳威尔定理证明瓦尔拉斯均衡（Walrasian equilibrium）的存在性，即“总有一组价格对应着所有商品的供给等于需求”，即使无法提供具体的实现路径。

其证明思路是：在价格标准化了的单纯形（该集合是紧致且凸的）上定义一个连续的价格调整函数，然后应用布劳威尔定理，你就能保证存在一个不动点，该点即对应于均衡价格。



另一个关键应用涉及博弈论，布劳威尔定理可被用于证明某些博弈中纳什均衡（Nash equilibria）的存在性，尤其是在策略空间为连续、且最优反应处于该定理成立所要求的条件范围内。此外，该定理也为处理具有不可分性（indivisibilities）或非凸性（non-convexities）模型的均衡性提供了数学基础，而这些情形往往可能导致其他数学方法的失效。

该定理的强大之处在于其假设极为简洁，仅需映射的连续性以及定义域的紧致性和凸性，使其广泛适用于宏观经济、贸易理论等众多经济学分支。



回到我们自己身边，我们或许可以牵强地认为布劳威尔不动点定理也为我们指引了生活的方向。我们在生活中不可避免的总会遇到一些棘手的问题需要处理，但如果我们意识到问题的答案一定存在，或许我们会感到些许安慰，尽管还是要在寻找答案的路上继续挣扎。

没有人想要耗费时间去寻找一个并不存在的答案。确信心血不会白费，这多少可以让人更安心一些。

谭天悦地