0°＜α,β＜90°，sin(α+φ)=0.4，sin(β+φ)=0.2，tanφ=4/3，证 α+φ,β+φ 钝角

wintex

請問數學

luyuanhong

题  0°＜α,β＜90°，sin(α+φ)=0.4 ，sin(β+φ)=0.2 ，证明：α+φ,β+φ 都是钝角。

证  此题有错，我怀疑是遗漏了一些条件。

   在现有的条件下，不能证明 α+φ,β+φ 都是钝角，下面举一个反例：

   设 φ=0° ，这时有

   sinα=sin(α+φ)=0.4 ，α=α+φ=arcsin(0.4)≈24° 。

   sinβ=sin(β+φ)=0.2 ，β=β+φ=arcsin(0.2)≈12° 。

   满足 0°＜α,β＜90° 条件。

   而 α+φ,β+φ 都是锐角，不是钝角。

wintex

luyuanhong 发表于 2026-3-17 11:05
题  0°＜α,β＜90°，sin(α+φ)=0.4 ，sin(β+φ)=0.2 ，证明：α+φ,β+φ 都是钝角。

证  此题有错 ...

抱歉陸老師，少了條件：

tanφ=4/3

luyuanhong

liangchuxu

陆老师的方法巧。用公式也可解。

lihp2020

\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\) 明显 是勾股数 3 4 5的 \(\sin\varphi=\frac{4}{5}=0.8\)
sin函数 在\(\left( 0{,}\frac{\pi}{2}\right)\) 单调递增
明显两个表达式的sin 小于的0.8  也就是 两个度数 超过了90度

lianchunhe

题设有问题

luyuanhong

楼上 lianchunhe 的帖子已收藏。

原题中 α,β≤90° 的条件有错，应改为 α,β＜180° 。