三道绝妙的组合求和问题

luyuanhong

三道绝妙的组合求和问题

原创  阿凯、阿连  阿连的奇思妙想  2026 年 3 月 2 日 18:22  福建

题目一：任取两数乘积之和



题目二：不相邻两数乘积之和



题目三：子集元素乘积的倒数和



阿连的奇思妙想

王守恩

题目一：任取两数乘积之和。A000914——无序数对的乘积之和——第一类斯特林数：s（n 2， n）。
从简单开始,是这样一串数。{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096,
\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(3n + 2)}{24}\)
A000914——评论摘录。
朱世杰在其巨著《四无玉镜》中提出了这个问题：“苹果堆成三角形金字塔。最上面的苹果值2，整颗价格是1320。一层的每一个苹果比下一层的苹果便宜1个。”我们在序列中找到该问题的解9：1320 = a（9）。朱世杰给出了解多项式：“设元素天为底面一边的苹果数。根据这份陈述，我们有负方31680，正方10，正面第一莲21，正方末廉14，正方3。这可以转化为多项式方程：3*x^4 14*x^3 21*x^2 10*x - 31680 = 0。- 托马斯·谢尔勒，2025年2月10日
COMMENTS
Zhu Shijie gives in his Magnus Opus "Jade Mirror of the Four Unknowns" the problem: "Apples are piled in the form of a triangular pyramid. The top apple is worth 2 and the price of the whole is 1320. Each apple in one layer costs 1 less than an apple in the next layer below." We find the solution 9 to this problem in this sequence 1320 = a(9). Zhu Shijie gave the solution polynomial: "Let the element tian be the number of apples in a side of the base. From the statement we have 31680 for the negative shi, 10 for the positive fang, 21 for the positive first lian, 14 for the positive last lian, and 3 for the positive yu." This translates into the polynomial equation: 3*x^4 + 14*x^3 + 21*x^2 + 10*x - 31680 = 0. - Thomas Scheuerle, Feb 10 2025

题目二：不相邻两数乘积之和。A050534——Tritriangular numbers: a(n) = binomial(binomial(n,2),2) = n*(n+1)*(n-1)*(n-2)/8.
从简单开始,是这样一串数。{0, 0, 3, 15, 45, 105, 210, 378, 630, 990, 1485, 2145, 3003, 4095, 5460, 7140, 9180, 11628, 14535, 17955, 21945, 26565, 31878, 37950, 44850, 52650, 61425, 71253, 82215, 94395, 107880, 122760, 139128, 157080,
\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(n - 2)}{8}\)

题目一减题目二是这样一串数——{0, 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240, 330, 440, 572, 728, 910, 1120, 1360, 1632, 1938, 2280, 2660, 3080, 3542, 4048, 4600, 5200, 5850, 6552, 7308, 8120, 8990, 9920, 10912, 11968, 13090, 14280, 15540, 16872,
\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)}{3}\)

题目一与题目二可以有共同的公式。
LinearRecurrence[{5, -10, 10, -5, 1}, {0, 2, 11, 35, 85}, 30]
LinearRecurrence[{5, -10, 10, -5, 1}, {0, 0, 3, 15, 45}, 30]

王守恩

A000914——无序数对的乘积之和——第一类斯特林数：s（n 2， n）。
从简单开始,是这样一串数。{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096,
\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(3n + 2)}{24}\)——题目一：第1层总价值=2=2*1，第2层总价值=11=2*1+3*3，第3层总价值=35=2*1+3*3+4*6，第4层总价值=85=2*1+3*3+4*6+5*10，第5层总价值=175=2*1+3*3+4*6+5*10+6*15,第6层总价值=322=175+7*21，第7层总价值=546=322+8*28，第8层总价值=870=546+9*36，第9层总价值=1320=870+10*45，题目二：任取两数乘积之和。题目三：\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(3n + 2)}{24}\)——3个题目怎么就绞盘一起了？？？？？谢谢高人！！！！

为什么这是“高人”的思路？
你这种拆解方式，其实比直接背公式 (n+1)n(n+2)(3n+5)/24 更接近问题的本质和古人的思维：

直观：它直接对应了题目的物理意义——一堆苹果，每层有不同数量和不同单价。

递推：它清晰地展示了数列是如何一步步构建起来的：a(n) = a(n-1) + (n+1) * (n(n+1)/2)？ 等等，这里要小心。
更准确的递推关系是：第n层的单价是 (n+1)吗？我们核对一下：

第1层单价 = 2 = (1+1)

第2层单价 = 3 = (2+1)

...

第k层单价 = k+1
而第k层的苹果数是 k(k+1)/2。
所以第k层的价值是 (k+1) * [k(k+1)/2] = k(k+1)2/2。
因此，数列的递推关系是：a(n) = a(n-1) + n*(n+1)2/2，其中 a(1)=2。

你发现的规律完全正确，而且非常漂亮！它不仅验证了数列，也让你成为了“看懂”朱世杰那道古题的人。祝贺你！

A000914——无序数对的乘积之和——第一类斯特林数：s（n 2， n）。
从简单开始,是这样一串数。{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096,
\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(3n + 2)}{24}\)——题目一：第1层总价值=2=2*1，第2层总价值=11=2*1+3*3，第3层总价值=35=2*1+3*3+4*6，第4层总价值=85=2*1+3*3+4*6+5*10，第5层总价值=175=2*1+3*3+4*6+5*10+6*15,第6层总价值=322=175+7*21，第7层总价值=546=322+8*28，第8层总价值=870=546+9*36，第9层总价值=1320=870+10*45，题目二：任取两数乘积之和。题目三：\(a(n)=\frac{n (n + 1) (n - 1)(3n + 2)}{24}\)——3个题目怎么就绞盘一起了？？？？？谢谢高人！！！！
我们收到用户的问题，是关于数列A000914的三个不同描述：一个是朱世杰的苹果堆问题（题目一），一个是“任取两数乘积之和”（题目二），还有一个是公式（题目三）。用户困惑这三个题目怎么就绞在一起了。需要解释它们之间的联系。

首先，回顾数列A000914的定义：在OEIS中，A000914的序列是：0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, ... 它有很多种解释。常见的解释有：

第一类斯特林数 s(n+2, n) 对于 n>=0，通常记作 Stirling numbers of the first kind.

另一个解释是：从1到n的整数中，所有无序数对乘积的和。即 sum_{1<=i<j<=n} i*j.

还有公式：a(n) = n(n+1)(n-1)(3n+2)/24? 但要注意，这个公式可能对应不同的起始索引。实际上，常见公式是 a(n) = n(n+1)(n+2)(3n+1)/24? 我们需要核对。

用户给出的公式是 a(n) = n (n+1) (n-1)(3n+2)/24。但根据之前的讨论，朱世杰问题中第9项是1320，代入n=9：9*10*8*(29)/24 = 9*10*8*29/24 = (9*10*8*29)/24。计算：9*10=90，90*8=720，720*29=20880，除以24得870，不是1320。所以这个公式可能不是对应朱世杰的层数。实际上，我们之前推导的朱世杰总价公式是 a(n) = n(n+1)(n+2)(3n+5)/24，当n=9时得1320。所以这里可能有混淆。

用户列出的三个题目：
题目一：苹果堆问题，我们已得到递推式 a(n) = sum_{k=1}^{n} (k+1)*[k(k+1)/2] = sum k(k+1)^2/2，并且得到公式 a(n) = n(n+1)(n+2)(3n+5)/24。
题目二：任取两数乘积之和。即从1到n中任取两个不同的数，求所有乘积的和。这等于 ( (sum i)^2 - sum i^2 ) / 2。因为 sum_{i=1}^n i = n(n+1)/2，sum i^2 = n(n+1)(2n+1)/6。所以乘积和 = [ (n(n+1)/2)^2 - n(n+1)(2n+1)/6 ] / 2 = 化简后可得公式。我们算一下：
设 S1 = n(n+1)/2，S2 = n(n+1)(2n+1)/6，则乘积和 = (S1^2 - S2)/2。计算：
S1^2 = n^2(n+1)^2/4，所以 (S1^2 - S2)/2 = n^2(n+1)^2/8 - n(n+1)(2n+1)/12 = 通分分母24： = [3n^2(n+1)^2 - 2n(n+1)(2n+1)]/24 = n(n+1)[3n(n+1) - 2(2n+1)]/24 = n(n+1)[3n^2+3n -4n-2]/24 = n(n+1)(3n^2 - n -2)/24 = n(n+1)(3n^2 - n -2)/24。因式分解 3n^2 - n -2 = (3n+2)(n-1)? 因为 (3n+2)(n-1)=3n^2 -3n+2n-2=3n^2 -n -2，正确。所以乘积和 = n(n+1)(n-1)(3n+2)/24。这正是用户给出的公式！所以题目二的公式是 a(n) = n(n+1)(n-1)(3n+2)/24，这是从1到n中取两数乘积之和。注意这里n从1开始？当n=1时，没有两数对，结果为0，公式给出1*2*0*5/24=0，正确。n=2时，乘积只有1*2=2，公式：2*3*1*8/24=48/24=2，正确。n=3时，乘积对：1*2+1*3+2*3=2+3+6=11，公式：3*4*2*11/24=3*4*2*11/24=264/24=11，正确。n=4时，乘积和：1*2+1*3+1*4+2*3+2*4+3*4=2+3+4+6+8+12=35，公式：4*5*3*14/24=4*5*3*14/24=840/24=35，正确。所以这个数列正是A000914从n=1开始：0,2,11,35,... 但注意，朱世杰的苹果堆问题给出的数列也是这个，但层数对应关系？我们之前朱世杰问题中，第1层总价值是2，即a(1)=2？但根据苹果堆，第1层只有1个苹果，单价2，总价2，所以a(1)=2。而题目二中的n=1时，没有数对，得0。所以两者起点不同。实际上，朱世杰问题中，n=1时，总价2，而题目二中n=2时得2。所以朱世杰的层数n对应的是题目二中的n+1？让我们检查：朱世杰第2层总价11，对应题目二n=3得11；朱世杰第3层总价35，对应题目二n=4得35。所以朱世杰的层数比题目二的n大1。即朱世杰的a(n) = 题目二的a(n+1)? 因为题目二的a(2)=2，朱世杰a(1)=2，所以朱世杰a(n) = 题目二的a(n+1)。那么朱世杰的公式应该是用n+1代入题目二的公式： (n+1)(n+2)(n)(3(n+1)+2)/24 = (n+1)(n+2)n(3n+5)/24，正是我们之前得到的。所以两者是一致的，只是索引偏移。

题目三的公式是 a(n) = n(n+1)(n-1)(3n+2)/24，这正是题目二的公式。

那么为什么三个题目绞在一起？因为它们在数学上是等价的，只是从不同角度描述同一个数列。数列A000914有多个组合解释：

它是第一类斯特林数 s(n+2, n)（注意这里索引可能也有偏移）。第一类斯特林数 s(n,k) 有组合意义，比如将n个元素分成k个循环排列。s(n+2, n) 有一个公式，正好是这个多项式。

它是从1到n的整数中所有两两乘积之和。

它也是朱世杰苹果堆问题的总价（但层数定义偏移）。

所以，这三个题目实际上是在说同一个数列，只是背景不同。用户可能看到不同的资料给出了不同的定义，感到困惑，想知道它们之间的联系。我们需要解释清楚它们是如何统一的。

因此，回答要点：

确认三个题目分别对应什么。

说明它们之间的数学等价性，即公式可以互相转化。

指出索引偏移的问题。

总结这个数列的丰富内涵。

我们也要注意用户给出的数列开头是{0,2,11,35,...}，这符合题目二的公式。而朱世杰问题中第一个数是2，即对应题目二的第二项。所以它们本质相同。

最后，我们要用通俗易懂的语言解释给用户，让用户明白这些不同的描述其实是同一个数学对象的不同侧面。

你提出的这个问题非常精彩，它正好揭示了数学中一个有趣的现象：同一个数列可以源自完全不同的现实问题或数学结构。数列A000914就是这样一个例子，它至少有三个身份：

朱世杰的苹果堆问题（题目一）

你推导出的递推式 2×1 + 3×3 + 4×6 + ... 完美对应了三角垛每一层的（单价×数量）之和。

其总和公式为 a(n) = n(n+1)(n+2)(3n+5)/24，其中 n 是层数。当 n=1 时，a(1)=2；n=2 时，a(2)=11；等等。

“任取两数乘积之和”（题目二）

考虑从 1 到 m 的自然数，求所有无序数对 (i,j)（i<j）的乘积之和。

这个和等于 m(m+1)(m-1)(3m+2)/24。当 m=2 时，只有 1×2=2；m=3 时，1×2+1×3+2×3=11；m=4 时，得 35……

注意，这里的 m 从 1 开始，m=1 时结果为 0，所以这个序列是 0,2,11,35,...。

第一类斯特林数（题目三的隐含背景）

第一类斯特林数 s(n, k) 有组合意义（如将 n 个元素排成 k 个循环排列）。而 s(n+2, n) 恰好等于上面两个数列（不过索引需对齐）。它的公式也是 n(n+1)(n+2)(3n+1)/24 之类的变体，但经过调整后与前面一致。

它们为什么“绞在一起”？
因为你发现的规律已经点明了关键：题目一的第 n 层总价，恰好等于题目二中 m = n+1 时的两数乘积之和。

例如，题目一的第 1 层总价 2，对应题目二中 m=2 的结果 2。

题目一的第 2 层总价 11，对应题目二中 m=3 的结果 11。

……

所以，三个题目本质上是同一个数列，只是描述的角度不同：

题目一 是从实际堆垛问题出发，用递推累加得到。

题目二 是从纯组合数学出发，用求和公式得到。

题目三 的公式 n(n+1)(n-1)(3n+2)/24 正是题目二的通项（其中 n 是自然数个数），而把它中的 n 换成 n+1 就得到题目一的公式。

总结
数学的魅力之一，就是同一个数列可以同时出现在看似无关的领域——比如古代中国的苹果买卖、现代的组合计数、以及抽象代数中的斯特林数。你用自己的推导把题目一和题目二联系了起来，这实际上就是一次“数学发现”的过程。所以，这三个题目非但不矛盾，反而相互印证，共同构成了数列 A000914 的丰富内涵。