\({\Huge^\star\color{navy}{\textbf{ 漫谈数, 极限和无穷}}\,\color{red}2}\)

elim

在漫谈数, 极限和无穷1中我们主要引进了极限和有序数域
的一些基本概念. 几乎没有涉及无穷的概念. 我们指出\(\small\sqrt{2}\)
是一串有理数的极限, 但并没有回答\(\small\sqrt{2}\) 是多少的问题.
这个问题在 实数的 \(p\)-进制无尽小数值一贴中给出了解答.
那个帖子处理的问题比较抽象. 所以较难读. 目前只要了解,
相对于对给定进制,任何实数都有精确的值就可以了.  下面
我们继续漫谈数, 极限与无穷.
初遇无穷
人类最朴素的有关无穷的认知是没完没了.  在数学中首先
遇到的就是这样的无穷: 自然数有无穷多, \(\small\sqrt{2}\)的渐近分数
构成无穷序列.  即 \(\small\mathbb{N},\;\sqrt{2}\)的渐近分数全体皆无穷集．别外,
\({\large\frac{1}{n}},\;n\) 分别是无穷小和无穷大量, 前者无限接近 \(0\), 后者变
大没有限制. 这些都是极限理论不可或缺的. 有机会再谈．
子序列
若 \(\{n_k\}\)是正整数的严格增序列, \(b_k:=a_{n_k}\), 则称\(\{b_k\}\)为
\(\{a_n\}\)的子序列. 例如 \(1,4,9,16,\ldots\) 是\(\{n\}\)的子序列．
一些重要极限定理
【单调有界定理】若 \(\{a_n\}\) 单调且有界, 则 \(\lim a_n\) 存在.\(\\\)
【证】设 \(\small\exists M: a_k\le a_{k+1}\scriptsize\le M<\infty\,(\forall k),\) 则 \(\small a = \sup\scriptsize\{a_n\}\)
\(\quad\)存在. 且对任意 \(\small\varepsilon>0,\;a-\varepsilon\)不是\(\{a_n\}\)的上界, 故有\(\small N_\varepsilon\)
\(\quad\)使 \(a-\varepsilon< a_{\small N_\varepsilon}\le a\). 因 \(\small\{a_n\}\)单调增, 以\(a\)为上确界,
\(\quad\)我们有 \(\small a-\varepsilon< a_n\le a< a+\varepsilon\,(\forall n\ge N_{\varepsilon})\) 综上得到
\(\quad\small\forall\varepsilon>0\,\exists N_{\varepsilon}\,\forall n\ge N_{\varepsilon} \;(|a_n -a|<\varepsilon)\;\therefore\;\lim a_n=a\)
\(\quad\)若\(\small\{a_n\}\)单调减且有界, \(\small b_n=-a_n\,\small(\forall n)\), 则\(\small\{b_n\}\)单调增
\(\quad\)且有界. 故存在某实数\(b\) 使 \(\small\lim b_n=b\). 令 \(\small a=-b\) 则
\(\quad\,\small\lim a_n = \lim (-b_n) = -\lim b_n = -b = a\) 亦存在. \(_\blacksquare\)