偷走“无限”的人：150 年后，数学革命奠基者“跌下神坛”

luyuanhong

偷走“无限”的人：150 年后，数学革命奠基者“跌下神坛”

原创  银河系搭车客  量子号  2026 年 3 月 14 日 22:23  美国



很多人习惯相信科学史上的“天才叙事”：

牛顿看到苹果落地，发现万有引力；

爱因斯坦独立思考，提出相对论；

数学界则说——康托尔“发明了无限”。

但真实的研究远没那么孤立。

一次讨论、一封信，都可能改变结论的方向。

如果改变数学史的思想，源自两个人长期的通信和探讨，却只有一个人被铭记，而另一个人“被消失”——

这段历史，还真实吗？

2026 年 2 月 25 日，《量子杂志》（Quanta Magazine）发表了资深科学作者约瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）的一篇科学史研究，重新审视了一段在数学史上几乎被神话化的传奇。

过去一个半世纪里，德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）被视为现代无限理论奠基者。他在 1874 年的论文首次严格证明：无限也存在不同“大小”，开创了集合论，彻底改变数学基础。

然而，一批“被消失”了 150 年的信件如今重出江湖，神话被揭穿。


2026 年 2 月 25 日，发表于《量子杂志》一篇科学史研究截图。

第一章  被重新打开的历史档案

1.  一座雕像与一个谜团

2025 年 3 月 12 日，德国数学家兼记者德米安·古斯（Demian Goos）走进德国哈勒大学的一间办公室。迎接他的，是房间角落里的一座半身雕像。

雕像上的人物秃顶、年迈、神情坚毅——那正是格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）。

在数学史的叙述中，康托尔通常被描绘为一位坚定而孤独的革命者：面对同行的激烈反对，他仍执意推进一场改变数学基础的革命。

但对古斯而言，这个形象与他过去一年研究中接触到的康托尔形成了强烈反差。

在大量历史资料里，他看到的不是一位钢铁般的人物，而是焦虑、孤独、深陷争议的学者。

数学史上最重要的论文之一，正是在哈勒大学，康托尔在 150 年前启动了那场革命。

1874 年，他在这里发表了一篇后来被视为四千年数学史上最重要论文之一的研究。

这篇论文首次明确提出并证明了一个惊人的结论：

无限并非唯一，而是存在不同的“大小”。

在此之前，“无限”（Infinity）在数学中长期被视为一种危险概念。许多数学家认为，它更像是一种逻辑陷阱，而不是可以严肃研究的对象。

康托尔的论文改变了一切：

● 迫使数学家重新思考关于数与集合的基本假设。

● 动摇了数学的基础结构。

● 最终催生出全新的学科——集合论。

在随后几十年里，这一理论逐渐发展为现代数学的基石之一。

2.  一封“消失”的信

古斯当时来到哈勒的目的看似简单：

查看康托尔遗产中保存的一批信件。

从德国美因茨乘火车到哈勒，大约需要五小时。他之所以愿意跑这一趟，是因为他已经看过其中一封信的扫描件，并对其内容产生了强烈兴趣。

接待他的是卡琳·里希特（Karin Richter）——一位在哈勒大学工作了一生的学者。她曾是研究数学家，退休后转而讲授数学史。

里希特从办公桌上一堆书籍和文件中拿出一个蓝色活页夹。

里面整齐地装着几十封旧信件，每封都被塑料保护套包裹。

古斯开始翻阅这些信件。

他的神情几乎像一个考古学家走进一座尘封已久的墓室——充满期待与兴奋。

很快，他翻到其中一页。

突然，他愣住了。

甚至一时难以呼吸。

让他震惊的并不是信件的笔迹。

在研究康托尔的过程中，他早已熟悉一种古老的德文字体——库伦特手写体（Kurrentschrift）。这种几乎难以辨认的哥特式手写体在德国一直使用到约 1900 年。

也不是信件的署名。

信件来自德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）。

在数学史上，人们早已知道戴德金是康托尔研究无限理论的重要伙伴，两人之间长期保持书信交流。

真正让古斯震惊的是——

日期：

1873 年 11 月 30 日。

在所有历史记录中，这封信一直被认为已经遗失。

学界普遍认为，它要么在第二次世界大战的混乱中被毁，要么被康托尔本人销毁。

但现在，它就在古斯眼前。

而这封信之所以重要，是因为它可能彻底改变人们对康托尔的认识。

它提供了关键证据：康托尔 1874 年的那篇革命性论文——那篇改变整个数学世界的论文——可能涉及抄袭。


格奥尔格·康托尔（左）与理查德·戴德金。（图源：Kristina Armitage, Michael Kanyongolo/Quanta Magazine）

第二章  思想的相遇

3.  数学：来自“神秘召唤”的事业

格奥尔格·康托尔 1845 年出生于俄罗斯圣彼得堡。

当他 11 岁时，父亲病重，家人为了躲避俄罗斯严酷的冬天搬到了德国。此后，康托尔几乎在德国度过了全部人生，并逐渐失去了俄罗斯口音。但在心理上，他始终没有完全融入这片新的土地。

父亲的病情不断恶化，于是把全部希望寄托在六个孩子中最年长的康托尔身上。

在康托尔 15 岁接受坚振礼时，父亲给他写了一封信。这封信对康托尔的一生产生了深远影响。信中告诫他：

许多才华横溢的人之所以失败，是因为他们的思想遭到反对。

父亲警告说，如果没有坚定的宗教信念，一个天才也可能沦为所谓的“被毁掉的天才”。如果康托尔希望成为“科学地平线上的一颗闪耀之星”，就必须在质疑和反对面前坚持自己的道路。

康托尔把这封信随身携带了一生。

父亲的教诲逐渐塑造了康托尔的思想气质。

他逐渐形成了一种英雄式的学术观：真正的思想家必须对抗怀疑与反对，坚持自己的信念。

不久，他找到了可以施展这种精神的领域——数学。

康托尔后来写道，数学是一个“仿佛有某种未知而隐秘的声音在召唤他的领域”。

18 岁时，父亲去世。康托尔用继承的遗产进入德国最重要的数学中心之一——柏林大学学习。

而就在这里，一场围绕“无限”的思想冲突正在悄然酝酿。


格奥尔格·康托尔一直渴望在数学领域留下自己的印记。但到了 19 世纪 90 年代，他的雄心壮志却使他陷入了严重的抑郁之中。（图源：Public domain, via Wikimedia Commons）

4.  无限：数学中的危险概念

数学家早在几千年前就引入了“无限”这一概念。

原因很简单：

无论给出多大的数，总能再找到一个更大的数。

但这个概念也带来了严重问题。

古希腊哲学家芝诺（Zeno）就曾利用无限构造出一系列著名悖论，例如“阿基里斯追不上乌龟”的悖论。这些思想实验表明：一旦涉及无限，大小、加法、运动等看似简单的概念都会陷入混乱。

在中世纪和近代欧洲，无限不仅是数学问题，还涉及宗教问题。

基督教神学认为：

只有上帝才是真正的“无限”。

如果普通数学家能够操控或计算这种“无限量”，就意味着人类在某种意义上触碰了神的领域，从而挑战教会权威。

因此，在很长时间里，无限被视为一种危险甚至不敬的概念。

于是，数学界逐渐形成一种共识：

无限只是语言工具，而不是真实的数学对象。

德国数学巨匠卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在 1831 年的一封信中就曾写道：

无限不过是一种“facon de parler”（说话方式）。

换句话说，它只是一种方便的表达，而不应该被当作真正存在的数学实体。

5.  数学基础的动摇

数学家重新审视“数”

但到了 19 世纪中叶，这种回避态度越来越难维持。

数学家开始重新审视数学最基础的概念，希望让它们变得更加严格和精确。

很快，他们意识到一个令人不安的事实：

就连“数”本身的定义，其实也并不牢固。

长期以来，人们只把“数”理解为代数方程的解，例如：

● 整数

● 分数

● 平方根

但越来越多数学家开始思考：

这些不同类型的数究竟如何彼此关联？

是否还存在尚未被发现的新类型的数？


理查德·戴德金花了数十年时间试图理解数学中最基本的对象。他最著名的论文之一是题为《什么是数字，它们应该是什么？》（What Are Numbers and What Should They Be?）（图源：ETH Library, Public domain, via Wikimedia Commons）

戴德金的突破

在这批探索者中，有一位安静而低调的德国数学家：

戴德金。

1858 年，他找到了一种方法，可以严格定义“实数”——也就是数轴上的所有数。

但戴德金没有立刻发表成果。

他是一个极其谨慎而缓慢的思想者，更喜欢先与同行讨论，直到完全确认自己的想法正确。

康托尔的独立研究

与此同时，康托尔也在进行自己的研究。

1870 年前后，他刚完成博士学习，开始研究一些看似技术性的数学问题，例如某些方程的行为方式。

当时，他还没有特别关注关于“数的本质”的哲学问题。

但在研究过程中，他逐渐意识到：

理解数的结构本身，可能比解方程更重要。

于是，他也提出了一种属于自己的实数定义方法。

值得注意的是——

康托尔并不知道戴德金已经做过类似研究。

6.  1872 年的双重革命

1872 年，康托尔和戴德金分别发表了自己的研究成果。

两篇论文都做了一件在当时看来极其激进的事情：

重新定义数轴。

传统观点：数轴存在“空隙”

在此之前，数学家普遍认为：

数轴虽然看起来是连续的，但如果无限放大，总会发现一些“空隙”。

例如 0 到 1 之间：

这里有无限多个分数。

在任何两个分数之间，总能找到新的分数。

但无论如何细分，总有一些数——例如 √2 ——无法通过分数逼近得到。

因此，人们认为数轴存在“断裂”。

新观点：完全连续的数轴

康托尔和戴德金的理论则给出了一个全新的结构。

他们证明可以构造一种数轴，使其满足：

无论放大多少倍，数轴始终是连续的。

换句话说：

数轴的每一个位置都对应一个实数。

这意味着数轴不再有任何“空隙”，而是一片由无限多个实数组成的连续整体。

这一结果带来了一个深远后果：

无限不再是数轴远方的模糊概念，而是隐藏在数轴的每一个角落。


这是一幅 19 世纪 90 年代的版画，描绘了瑞士小镇格尔绍，康托尔和戴德金在那里偶然相遇，并很快成为朋友。（图源：Photochrom Print Collection, Public domain, via Wikimedia Commons）

7.  湖畔第一次相遇，友谊开始

1872 年夏天，两位数学家恰好都在瑞士度假。

地点是卢塞恩湖畔的美丽小村庄格尔绍。

在那里，他们第一次相遇，并沿着湖岸散步，长时间讨论数学。

如果有旁观者看到这两个人，可能会觉得他们组合十分奇特。

当时 27 岁的康托尔：

● 身材高大

● 肩膀宽阔

性格外向

他喜欢受到同行关注，但内心却对他人的评价异常敏感。

这种焦虑让他养成一种习惯：

尽快发表研究成果。

而戴德金：

● 比康托尔年长 13 岁

● 身材矮小

● 性格内向沉稳

与康托尔不同，他几乎没有发表论文的紧迫感。

事实上，他一生发表的论文数量都相对有限。

尽管性格差异巨大，两人却一见如故。

后来在彼此的书信中，他们多次回忆那一天——

在湖边漫步、讨论数学的美好时光。

他们在彼此身上找到了：

● 思想伙伴

● 学术盟友

● 朋友

但这段关系并不会持续太久。

因为不久之后，一封信和一篇论文，将改变他们之间的一切。

第三章  追寻真相的人

8.  从足球裁判开始的“正义感”

古斯从小就对规则与公平格外敏感。

2008 年，17 岁的他随家人从成长的德国搬到阿根廷——母亲的故乡。就在那一年，他做出了一个有些不同寻常的选择：成为一名足球裁判。

他后来回忆说，自己当然喜欢和朋友踢球，但比起踢球本身，他更在意比赛中的公平。

“当我看比赛时，如果裁判判错，我会非常难受。我总觉得自己应该做点什么，让判罚更准确。”

裁判工作给了他一个机会：把这种对公平的执念变成行动。

在接下来的 15 年里——从本科、研究生到博士后阶段——古斯一直在阿根廷罗萨里奥国立大学学习和工作，同时为当地重要的职业足球赛事担任裁判。

有一次，一名观众甚至在看台上向他挥舞砍刀，带有明显威胁意味。

但当那名观众支持的球队随后犯规时，古斯并没有退缩。他深吸一口气，然后毫不犹豫地出示了红牌。

这段经历对他影响深远。

“裁判经历塑造了我。”他说，“别人试图恐吓我时，我不会退缩。”


德米安·古斯是一位德裔阿根廷数学家兼科学记者，他制作了一档关于数学和科学史的播客节目。正是这档播客节目让他发现了康托尔和戴德金之间真实事件的新证据。（图源：demian-goos.de）

9.  比数学更吸引他的，是故事

虽然古斯本身也是一名数学研究者，但真正吸引他的，并不是定理本身，而是定理背后的故事。

在大学期间，他常常在课余时间阅读数学思想史，并把自己读到的故事绘声绘色地讲给同学听。

地点通常是在校园咖啡馆——朋友们甚至把那里戏称为他的“办公室”。

他的教学方式也同样不同寻常。

在担任博士后期间，他有时会带学生走到户外，用一种非常另类的方法解释数学概念：

通过即兴舞蹈展示数学思想。

例如：

● 优化算法

● 混沌系统

这些抽象概念，被他用身体动作表现出来。

不少学生觉得这种方式新奇而有趣，但一些教授却警告他不要采用如此“离经叛道”的教学方法。

对此古斯并不在意。

“他们可能觉得可以吓住我。”他笑着说。

“但他们没听过那个砍刀的故事。”

10.  从数学家到科学记者

2020 年，古斯仍在从事博士后研究时突然生病，不得不频繁返回德国接受治疗。

几年后，他最终决定回到德国长期生活。

身体状况逐渐好转后，他做出了一个重要决定：离开学术界。

原因并不是厌倦数学，而是因为他意识到自己真正热爱的，是讲述科学故事。

于是，在 2023 年初，他加入柏林自由大学的科学新闻奖学金项目，开始系统学习科学传播。

他的主要项目是一档播客节目。

目标很明确：

讲述数学史上最精彩、最戏剧性的故事。

而他心里已经有了一个理想的起点。

11.  一个几乎被神话的故事

无限的诞生

古斯选择的第一个主题，是数学史上最富传奇色彩的故事之一：

无限如何成为真正的数学对象。

这一过程最终催生了集合论（set theory）——现代数学的基础之一。

在他看来，这个故事之所以迷人，是因为它挑战了人类对数学的直觉。

“它把我们对数学的理解推到极限。”古斯说。

在研究无限时，人们往往不得不放弃传统直觉，接受许多看似荒诞却又逻辑严密的结论。

康托尔的经典叙事

在学校里，古斯一直学到这样一个版本的历史：

是集合论唯一的创始人。

故事通常从 1874 年的一篇论文开始。

在那篇论文中，康托尔证明了一个革命性的结论：

无限并非唯一，而是存在不同大小。

这一证明彻底终结了一个长期存在的观点——

无限只是数学的一种技巧，而不是一个真实存在的对象。

一个逐渐浮现的疑问

古斯最初的计划很简单：

制作一档讲述康托尔伟大发现的播客。

但随着研究逐渐深入，他发现事情并不像教科书里讲的那样简单。

大量历史资料表明，关于康托尔的故事远比人们熟悉的版本复杂得多。

古斯后来这样总结自己的发现：

“我原本只是想讲大家都在讲的那个故事。”

“那是一个非常美丽的故事。”

“但它是错的。”

“事情并不是那样发生的。”

第四章  特洛伊木马

12.  一段关键的学术合作

真实的历史并不像后来流传的叙事那样：

并不是孤独完成革命的天才。

在关键时期，他有一位重要伙伴——戴德金。

康托尔性格热情，一旦遇到志同道合的数学家，总会积极接近并建立合作关系。许多同事回忆说，他甚至会在清晨就来到合作者的住所，只为了讨论一个刚刚想到的新数学想法，有时还会在门外等上几个小时，直到对方起床。

与戴德金的关系正是如此。

自 1872 年瑞士格尔绍的那次相遇后，康托尔只要有机会就会向这位年长的数学家请教问题。

13.  一个改变数学史的问题

实无限

1873 年 11 月，康托尔给戴德金写了一封信，提出了一个问题。这场通信后来被证明改变了整个数学史的走向。

他在信中写道：

“请允许我向您提出一个问题。这个问题对我来说具有某种理论意义，但我自己无法解决，也许您可以。”

此时，康托尔已经把研究的重点放在数轴的无限结构上。

西班牙塞维利亚大学的数学史学家何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）后来评价说：

康托尔具有一种非常强烈的使命感。

他坚信，引入“实无限”（actual infinity）不仅会改变数学，也会改变整个科学。

在康托尔看来，这种无限并不会挑战上帝的地位。相反，它意味着上帝并非遥不可及，而是存在于一切事物之间的无限结构之中。



戴德金写给康托尔：

“我常常非常高兴地回忆起在格尔绍和贝肯里德的美好一天，那天我有幸与您相识。”

1873 年 7 月 14 日

无限也有大小吗？

康托尔开始把所有实数看作一个整体——一个无限集合，并提出了此前从未有人认真思考的问题：

整数的无限，和数轴连续体中的无限，是同一种无限吗？

换句话说：

实数的数量是否多于整数？

这个问题在当时听起来几乎毫无意义。

因为如果两个集合都是无限的，那么所谓“更多”或“更少”又意味着什么？

康托尔决定寻找答案。

可数无限

康托尔向戴德金提出一个思路：

能否把两个无限集合建立一一对应关系？

也就是说：

每个数都对应一个唯一的整数。

没有剩余。

如果可以做到，那么两个集合的“大小”就相同。

康托尔已经成功证明了一件事：

有理数——即可以写成分数的数——实际上与整数一样多。

虽然直觉上看起来：

分数似乎比整数多得多

在任何两个分数之间都还能找到新的分数

但康托尔证明，所有分数仍然可以与整数一一对应。

因此，这两个集合的大小其实相同。

后来数学家把这种无限称为：

可数无限（countable infinity）。

实数是否“更多”？

但当康托尔试图把同样的方法应用到实数时，他遇到了困难。

他无法证明实数也能被“数出来”。

戴德金很快回信说，他也无法解决这个问题，但他已经证明了另一类数可以被数出来：

代数数（algebraic numbers）——即代数方程的解。

戴德金在信中写道：

“如果我不认为这些想法可能对您有所帮助，我是不会写这些的。”

于是，两人开始了一场密集的数学通信。

14.  革命性证明的诞生

一种更大的无限

受到戴德金研究进展的激励，康托尔继续攻克最后的问题：

实数。

几天后，他似乎找到了答案。

1873 年 12 月 7 日，他给戴德金写信：

“我想我终于成功了。”

他在信中详细写出了证明。

但这个证明非常复杂、冗长。

戴德金随后回信，提出了一种更简洁的方式，使证明结构更加清晰，同时保持严格性。

巧合的是，在收到戴德金回信之前，康托尔也想到了一种类似的简化思路，但他还没有把细节完全展开。

最终，他们得出了一个惊人的结论：

存在两种不同大小的无限。

整数集合：一种无限

实数集合：一种更大的无限

一个颠覆数学世界的想法

这个结果的意义极其深远。

康托尔开始意识到：

无限可能不仅有两种，而是存在整个层级结构。

也就是说：

无限之间也可以比较大小。

如果这一点成立，那么无限就不再只是语言表达，而是真实存在的数学对象。

康托尔意识到，他的证明可能会动摇整个数学世界的基础。

但他同样清楚，这样的观点也会激怒一些最有权势的数学家。

15.  最大的反对者：克罗内克

其中最强烈的反对者之一是德国数学家：

利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）。

克罗内克是一位著名的数学思想保守派，坚决反对无限概念。

他不相信数轴中充满连续实数的结构。

另一位数学家、后来证明π是超越数的费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）曾回忆说：

当他展示自己的研究时，克罗内克直接告诉他：

这种数根本不存在。

因此，这类研究毫无意义。


在利奥波德·克罗内克看来，无穷大在数学中毫无立足之地。当康托尔挑战这一观点时，克罗内克便着手摧毁康托尔的名誉，并阻止他发表著作。（图源：Public Domain）

问题不仅仅是思想分歧。

克罗内克还是数学界的重要权力人物。

他是当时最重要数学期刊之一——《克雷尔数学杂志》（Crelle's Journal）——的编委。

在 19 世纪的数学界，这样的职位意味着：

他可以决定哪些研究能够发表，哪些研究会被压制。

16.  康托尔“精心做局”

康托尔希望把自己的研究发表在《克雷尔数学杂志》。

在那里，他认为自己可以把无限的革命思想带入数学主流。

但如果论文直接宣称：

存在不同大小的无限

很可能会被克罗内克阻止。

于是，康托尔做出了两个关键决定。

论文的双层伪装

康托尔的导师卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）对另一个结果更感兴趣：

代数数是可数的。

于是康托尔决定利用这一点。

他给论文起了一个具有误导性的标题——只提到代数数，而不提无限的层级问题。



康托尔写给戴德金：

“请允许我向您提出一个问题。这个问题对我来说具有一定的理论意义，但我自己无法解答；或许您可以解答，并且能否好心写信告诉我？问题如下。”

1873 年 11 月 29 日

在论文结构中：

● 先给出代数数可数的证明

● 然后才提出真正革命性的结论：实数不可数。

这意味着：

实数的无限比整数的无限更大。

康托尔刻意淡化第二部分的重要性。

正如古斯所分析：

“他刻意使用一种不会引起怀疑的表述方式，以避免激怒克罗内克以及那些反对无限的人。”

抹去合作者

康托尔的第二个决定更加关键。

他把论文完全署名为自己一人。

在写作过程中，他系统地删除了所有可能指向戴德金贡献的痕迹，包括一些明显属于戴德金风格的术语。

换句话说：

合作研究被改写成了个人发现。

17.  一篇改变数学史的论文

康托尔向来行动迅速。

他只用一天时间就完成论文写作，并把它提交给《克雷尔数学杂志》。

第二天—— 1873 年圣诞节——他给戴德金寄出一封信。

信中写道：

“正如您将看到的，您的意见对我帮助很大，我非常重视您提出的一些表达方式。”

但论文的署名只有一个名字：

格奥尔格·康托尔。

而这篇论文，很快将被视为数学史上最伟大的发现之一。

luyuanhong

第五章  被写下的历史

18.  诺特的意外发现

关于康托尔行为的第一条怀疑证据，其实早在 20 世纪初就已经出现。

发现它的人，是另一位数学史上的传奇人物——德国数学家埃米·诺特（Emmy Noether）。

诺特是戴德金的坚定崇拜者。她经常在课堂上向学生赞叹戴德金的思想远见，并喜欢用一句话总结：

“一切都已经包含在戴德金的思想里。”

1930 年，诺特正在整理戴德金的全部数学著作，准备出版一套四卷本全集。就在这个过程中，她在档案中发现了一批戴德金保存下来的信件——其中包括他与康托尔的通信。

为了更系统地整理这些材料，诺特与法国哲学家让·卡瓦耶斯（Jean Cavaillès）合作，对这些信件进行收集与出版。


著名数学家埃米·诺特帮助收集了康托尔作恶的第一批证据。（图源：Public domain, via Wikimedia Commons）

19.  一段不完整的通信

到那时，康托尔和戴德金已经去世十多年。

诺特和卡瓦耶斯花费数年时间，从戴德金的遗产档案中追踪相关信件。1933 年，随着阿道夫·希特勒上台，身为犹太人的诺特被迫逃离德国，前往美国。两年后，她因癌症去世。

最终，是卡瓦耶斯在 1937 年完成了这项出版工作。

然而，这部书中的通信记录呈现出一种异常的结构。

信件从 1872 年两人相识后不久开始，大量来往通信迅速展开。但这些信件全部来自戴德金的档案——

只有他收到的信，没有他寄出的信。

然后，在 1874 年 1 月，通信突然中断。

接下来出现了长达数年的空白。

直到 1877 年，通信才重新出现。而这一次，书中开始包含戴德金写给康托尔的信件副本。

历史学家推测：

戴德金在某个时间点决定——保存自己寄出的信件副本。

20.  一张写给自己的备忘

在档案中，还有一段格外引人注意的文字。

那是一张戴德金似乎写给自己的记录。时间是在他读到康托尔 1874 年发表于《克雷尔数学杂志》的论文之后。

在这段记录中，戴德金写道：

他曾经把论文中的第一个证明寄给康托尔，并且还寄去了第二个证明的修改版本。

然而几个月后，这些内容却“几乎逐字逐句”地出现在康托尔的论文中——

署名只有康托尔一人。

21.  “荣誉准则”与“天才”叙事

尽管留下了这样的记录，戴德金本人却从未公开提出指控。

而在出版这些信件时，诺特和卡瓦耶斯也没有对此发表任何评论。

费雷罗斯认为，这并非偶然。

“他们很可能是有意识地选择保持沉默，只让信件自己说明问题。”

在当时的学术文化中，这被视为一种荣誉准则。

即使这些材料已经出版，也几乎没有人公开强调其中的问题。

最早的康托尔传记大多由他的学生或追随者撰写，这些作品几乎无一例外地赞颂他的天才。

康托尔逐渐被塑造成一个典型的传奇人物：

孤独、勇敢、颠覆传统的数学革命者。

22.  消失的关键证据

几十年后，一些数学史学家重新审视这段历史，其中包括英国历史学家艾沃·格拉坦-吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）。

他试图找到一组关键证据——

1873 年戴德金寄给康托尔的信。

这些信件如果存在，很可能直接证明康托尔在论文中使用了戴德金的成果。

历史记录显示，这些信件曾被保存在康托尔去世后留下的档案中，地点就在哈勒大学。

但当格拉坦-吉尼斯寻找时，它们已经消失。

他的结论是：

这些信件很可能在第二次世界大战期间遗失，或者在 1945 年美军和苏军占领哈勒后随城市破坏一起消失。

由于关键证据缺失，格拉坦-吉尼斯以及其他学者最终选择不直接指控康托尔学术不端。

一些学者提出另一种解释：

也许康托尔是在得到戴德金同意的情况下使用这些证明。

还有人认为，即使康托尔确实没有署名合作，也可以理解——

毕竟：

● 是康托尔发起了这场讨论

● 他也提出了第二个证明的最初版本

因此，这种做法或许只是当时学术文化中的一种模糊灰区。

23.  一个几乎被遗忘的争议

当古斯在 2024 年为自己的播客研究康托尔历史时，他第一次接触到这些资料。

他的反应是愤怒。

他发现，在所有文献中，只有一篇论文明确提出过指控。

那是费雷罗斯在 1993 年发表的一篇研究，其中直接认为：

康托尔在 1874 年的论文中盗用了戴德金的研究成果，却没有给予任何署名。

但康托尔的其他传记作者很快反驳了这一观点，认为费雷罗斯的解释过于极端。

而且，最关键的问题仍然存在：

缺少那封 1873 年的信。

如果没有它，人们只能依赖戴德金后来写下的一段记录。

但这段记录是否完全准确？

没人能够确定。

于是，这场争论长期停留在数学史学界内部，成为一个鲜为人知的小型学术争议。

与此同时，“孤独天才康托尔”的传奇形象依然在公众叙事中稳固存在。


塞维利亚大学数学史学家兼哲学家何塞·费雷罗斯是第一个在印刷品上指控康托尔抄袭的人。（图源：Universidad de Sevilla）

24.  失踪的信真的不存在了吗？

古斯决定在自己的播客中讲述真正的故事。

但他还希望做到一件更重要的事情：

找到证据。

他想到一个可能性——虽然希望极其渺茫。

历史学界普遍认为，那些信件在战争中已经遗失。

但古斯对此产生怀疑。

“很多东西确实在战争中消失了。”他说。

“但这并不意味着什么都没有留下。”

许多著名历史学家曾经寻找这些信件，却一无所获。

而古斯只是刚刚开始研究。

但他忍不住想：

难道所有专家都错过了什么吗？

第六章  孤独的革命者

25.  悄然投下的“数学炸弹”

1874 年，康托尔在《克雷尔数学杂志》发表的论文，并没有在当时引发轰动。大多数数学家并没有意识到他在论文字里行间埋下的“炸弹”。

然而事实上，这篇论文意义非凡。康托尔在数学界最重要的期刊上提出并证明了一个颠覆性的命题：

“无限并非只有一种大小。”

这一结论后来被证明具有深远影响。它迫使数学界重新审视整个学科的基础——

数学最基本的规则是什么？这些规则意味着什么？

这也成为康托尔此后数十年“挑战数学秩序”的第一击。

26.  戴德金的沉默

与此同时，戴德金却突然停止回复康托尔的来信。

两人的通信中断了近三年时间。

后来，出于一些并不完全清楚的原因，戴德金重新恢复了联系。但这一次，他显得明显更加谨慎——

他开始保存每一封寄给康托尔的信件草稿。

换句话说，他开始为自己留下完整的书面记录。

两人的通信再次回到核心主题：无限的结构与大小。康托尔计划继续扩展自己的研究，因此向戴德金征求意见。

此时两人的语气已经发生变化：

● 康托尔的信件更显恳求与依赖

● 戴德金则明显更加谨慎

尽管如此，这段通信仍然富有成果。

27.  第二篇论文与新的争议

很快，康托尔向《克雷尔数学杂志》提交了第二篇更加大胆的论文。

这一次，他不再隐藏自己的观点。

然而，反对声迅速出现。

最激烈的反对来自著名数学家克罗内克。

克罗内克是柏林数学圈的重要人物，他利用自己在学界的影响力，尽可能拖延论文的审稿流程。

经过数月僵持，数学家魏尔斯特拉斯以及其他学者出面为康托尔说情，论文最终才得以发表。



戴德金写给康托尔：

“如果不是觉得这些话中的一两句对您有用，我就不会写这么多。如果没帮上忙，我深表歉意：您提出的问题让我立刻投入其中，耽误了几个小时的工作，也让我变得健谈起来。”

1873 年 11 月 30 日

28.  历史再次重演

1873 年 11 月 30 日，戴德金在给康托尔的信中写道：

“如果我不认为这些评论可能对你有所帮助，我是不会写下这些内容的。如果事实并非如此，我要向你道歉。因为你的问题让我一时忘记了手头的工作，花了几个小时深入思考，也让我变得格外健谈。”

这段文字透露出当时两人仍然进行着深入的学术讨论。

然而不久之后，事情再次发生了令人不安的变化。

当康托尔的新论文发表后，人们发现：

戴德金信中的一些关键思想，再一次出现在论文中——却没有任何署名或致谢。

这与 1874 年的情况几乎如出一辙。

结果是：

戴德金再次终止了与康托尔的通信。

这一次，关系几乎彻底破裂。

29.  失去唯一的学术盟友

这段关系的破裂，后来很可能成为康托尔一生的重要转折点。

当时，康托尔正试图把自己所在的哈勒大学从数学边缘地带，发展为新兴学科——集合论——的中心。

在他看来，实现这一目标的最好办法是：

把戴德金请到哈勒任教。

1882 年，康托尔向戴德金发出了邀请，仿佛过去的事情从未发生。

戴德金则礼貌而明确地拒绝了。

与此同时，康托尔在数学界面临的压力越来越大。

克罗内克持续发动反对行动。他在数学圈公开攻击康托尔，称他为：

● “败坏青年的人”

● “叛徒”

1883 年，康托尔试图离开哈勒，申请到更有声望的柏林大学任教。

但克罗内克正是该校教授。

他成功阻止了这项任命。

更糟糕的是，一些数学家——甚至包括康托尔的朋友——也开始劝他不要继续发表相关研究。

30.  长期孤立与精神崩溃

康托尔对这些反对意见极为敏感。

费雷罗斯指出：

“他的许多学术关系最终都以不愉快告终，这几乎成了一种模式。”

而古斯则认为：

康托尔非常渴望得到认可。

但创新者往往必须面对一个残酷现实：

当你做的事情与所有人不同时，他们往往不会喜欢。

1884 年，康托尔第一次因严重抑郁症住院治疗。

此后几十年里，他的精神状况不断反复：

● 多次住院

● 与学界关系逐渐恶化

● 学术环境日益孤立


康托尔后期的照片中常常展现出自信和强大的气场。但在这份自信的外表下，却隐藏着孤独和焦虑。（图源：UAHW, Rep. 40/VI, Nr. 1, Bild 75）

康托尔的父亲曾经提醒他：

真正的创新者往往会遭遇强烈反对。

这句话最终成为现实。

当他一次次被拒绝重要职位与荣誉时，最初推动他的使命感逐渐转化为怨愤与失落。

抑郁症再次加重。

在接下来的二十年里，他多次住进疗养院。

1917 年，康托尔被送入一家精神疗养院。在那里，他经常给妻子写信，恳求能够回家。

1918 年，他在疗养院中去世。

31.  迟来的胜利

康托尔去世时，他的理论仍然处于数学边缘。

但历史的潮流正在悄然改变。

新一代数学家逐渐意识到：

康托尔的集合论拥有重建整个数学体系的潜力。

曾经被视为异端的思想，

正在成为未来数学的基础。

第七章  意外的发现

32.  寻找“消失的信件”

2024年，古斯在自己的播客节目中讲述了康托尔与戴德金之间的争议。

但问题在于：

他没有找到任何新的证据。

在缺乏新材料的情况下，他很难改变历史学界长期存在的争论。于是古斯暂时转向其他研究项目。

然而，这个故事始终让他放不下。

在业余时间里，他仍然不断追查那批传说中“消失的信件”。

他几乎搜集了所有相关书籍：

“我几乎不认为还有哪一本书是我没读过的。”

他还反复查阅大学档案和各种原始文献——甚至包括：

“在某篇文章里只被提到过一次的一行资料。”

33.  网站上的神秘线索

2024 年夏天，古斯在查找资料时偶然发现了一张疑似戴德金写给康托尔的信件扫描件。

这张扫描图出现在一个网站上：

“格奥尔格·康托尔协会”（Georg-Cantor-Vereinigung）

这是一个致力于纪念康托尔的学术组织。

不过，这封信写于 1877 年，已经是两人冲突之后的时期。因此，历史学界其实早就知道这封信的草稿版本——戴德金曾保存过。

真正令人意外的是：

历史上从未出现过寄给康托尔的那份原始副本。

古斯尝试联系网站上的多位成员，但始终没有得到回复。



康托尔写给戴德金：

“最近几天，我有时间更彻底地研究了我之前跟你谈到的那个猜想；直到今天，我才认为自己已经完成了这件事；但如果我是在自欺欺人，我肯定找不到比你更宽容的评判者了。”

1873 年 12 月 7 日

34.  康托尔后人现身

几个月后，古斯再次访问该网页。

这一次，他注意到一个此前忽略的细节：

网站提到，2009 年曾有一位后人捐赠了一批信件。

这条线索让他重新燃起希望。

于是，他开始追踪这位捐赠者的身份。通过研究家谱和各种文献，他最终找到了一个名字：

安吉莉卡·法伦博士（Dr. Angelika Vahlen）

她是康托尔的曾孙女，似乎住在德国哈勒。

古斯给她打去了电话。

法伦博士坦言：

● 她对数学一无所知

● 她的专业其实是考古学

但她表示，希望自己保存的信件能够被历史学家研究。因此，她已经把这些资料捐赠给了哈勒大学。

这些信件后来被交给了康托尔协会主席——数学教授里希特。

35.  找到第一封“消失的信”

2025 年 3 月，古斯终于找到了里希特教授，并来到她的办公室。

她递给他一个薄薄的蓝色文件夹。

古斯原本以为，里面只是那封 1877 年的信件——也就是网站上已经公布的那一封。对他来说，这不过是一次验证史料的常规工作。

但当他打开文件夹时，情况完全不同。

他看到了自己寻找了一年多的那封信。

他几乎立刻确认了这一点。

虽然戴德金的笔迹极其工整，却异常难以辨认，但信中反复出现一个词：

“algebraischen Zahlen” —— “代数数”。

而在信的底部，清晰地写着：

“致以最诚挚的问候，您最忠诚的

R. 戴德金

不伦瑞克（Braunschweig），1873 年 11 月 30 日”

这正是历史学家一直在寻找的那封信。


戴德金于 1873 年 11 月 30 日写给康托尔的一封信，遗失了一个多世纪。信中，戴德金证明了代数数集与整数集的大小相同——康托尔后来剽窃了这一结论。（图源：University of Halle）

36.  一波三折

古斯不禁开始思考一个问题：

里希特教授是否意识到她手中材料的重要性？

他请求获取扫描件。

里希特回答：她会考虑。

在当天回程的火车上——这已经是他当天第二次 5 小时旅程——古斯反复思考这次发现的意义。

他也清楚，这件事非常敏感。

过去，当他在德国数学界提及康托尔可能“背叛戴德金”时，常常遭遇冷淡甚至反感。

古斯说：

“德国人不太习惯表达骄傲，但我们确实以康托尔为荣。”

而里希特显然也是康托尔的忠实支持者。

两天后，古斯拨打里希特的电话，希望再次联系她。

然而，电话提示：

号码已停用。

他的希望瞬间跌入谷底。

古斯后来回忆说：

“你该怎么向别人解释这种情况？我刚见过这位女士，她似乎并不太愿意分享这些信件，然后我再打电话，她的号码就不存在了。”

他甚至开始责怪自己——

为什么当时没有直接拿出手机拍照？

接下来的一个月里，古斯联系了他在哈勒认识的所有人，试图找到里希特。

他甚至开始怀疑自己：

“我是不是疯了？

她真的存在吗？”

终于，一位同事告诉他：

里希特将在某地进行下一场讲座。

于是古斯再次出发。

他又一次完成了往返 10 小时的旅程。

这一次，里希特解释说：

她只是更换了电话服务商。

随后，她递给古斯：

一份扫描件和完整转录。

虽然只有一封信，但那正是最关键的一封。

37.  找到第二封信“消失的信”

一个月后，古斯再次前往哈勒。

里希特这次又给了他另一封戴德金的信件——写于 1873 年夏天。

但频繁往返的费用已经让古斯难以承受。

他说：

“我并不富有。”

于是他意识到：

是时候让世界知道他的发现了。

第八章  更真实的遗产

38.  名声悬殊的两位数学家

今天，康托尔的名声远远超过了戴德金。

事实上，两人都为数学基础理论作出了重大贡献。但在大众叙事中，康托尔往往被视为：

● “驯服无限的人”

● 集合论的发明者

● 现代数学语言的奠基者

如今，几乎所有现代数学理论都在某种程度上使用集合论的语言。因此，康托尔常被列为数学史上最伟大的数学家之一。

大量传记和科普作品进一步强化了这种形象，使得康托尔成为少数被公众熟知的数学家之一。

相比之下，戴德金的知名度要低得多：

● 至今没有英文版的正式传记

● 他的维基百科页面长度仅为康托尔的四分之一

不过，在数学界内部——很大程度上得益于诺特的努力——戴德金依然被视为一位被低估的远见者。

美国圣母大学集合论学者兼哲学家乔尔·大卫·哈姆金斯（Joel David Hamkins）曾评价说：

“我越了解戴德金，就越佩服他。康托尔证明了很多伟大的定理，但戴德金可能是更伟大的数学家。”

39.  被忽视了 90 年的线索

事实上，关于康托尔 1874 年论文的真实故事，已经在公开资料中存在了 90 多年。

只是，这并不是人们愿意讲述的故事。

费雷罗斯指出：

“每一个科学领域似乎都需要一个英雄。”

例如：

● 化学有安托万·拉瓦锡

● 力学有艾萨克·牛顿

● 相对论有阿尔伯特·爱因斯坦

于是，人们往往会讲述一个简单的故事：

某一个天才，独自改变了一切。

但费雷罗斯认为：

这种叙事几乎总是虚构的。

事实上，在 1873 年 12 月 25 日写给戴德金的一封信中，康托尔本人就承认过对方的帮助：

“正如你会看到的，你那些我非常重视的评论，以及你表达一些观点的方式，对我帮助极大。”

这句话说明，两人的学术交流确实深刻影响了康托尔的研究。



康托尔写给戴德金：

“正如您所见，您的评论（我非常重视）以及您阐述某些观点的方式对我帮助很大。”

1873 年 12 月 25 日

40.  数学并不是孤独的英雄史

当古斯公开自己发现的信件时，他很快遭遇阻力。

许多数学家（尤其是在德国）质疑：

这些信件真的重要吗？

很多人认为，这不过是历史细节，不足以改变康托尔的伟大地位。

这种反应，其实与 30 年前数学史学界对费雷罗斯论文的反应非常相似。

但古斯和费雷罗斯认为，这件事确实重要。

在人们的印象中，数学似乎是最远离现实世界的科学：

● 数学真理是绝对的

● 数学追求的是优雅与美

● 研究对象是抽象的世界

因此，人们往往认为：

谁提出理论并不重要，重要的是理论本身。

但这种看法掩盖了一个事实。

费雷罗斯说：

“数学是一项集体事业。”

即使是集合论这样看似由康托尔创立的领域，也不是一个人独立完成的。

41.  科学也是人的事业

同样被忽视的事实是：

数学是由人完成的。

而人类社会不可避免地包含：

● 自尊

● 竞争

● 偏见

● 个性缺陷

古斯曾这样回应那些轻描淡写康托尔行为的人：

“很好。那你下一篇论文就匿名发表吧。

然后我们再看看，大家是不是只关心科学本身。”

事实上，当涉及到自己的研究成果时，数学家们往往非常重视署名与贡献归属。

许多数学家甚至拥有近乎百科全书般的记忆，清楚知道：

● 谁提出了哪一个定理

● 谁获得了哪一项奖项

42.  英雄变回普通人，但依然伟大

当然，这一发现并不会推翻康托尔的历史地位。

康托尔仍然是：

第一个严格证明“实数比整数更多”的数学家。

这一结论最终打开了对无限进行系统研究的大门。

哈姆金斯指出：

“在我看来，真正关键的是第二个定理。”

而这个定理的最初证明，并不是来自戴德金。

但与此同时，历史也应该承认：

● 戴德金在这一发现中的重要作用

● 康托尔没有给予适当署名的事实

这样的发现并不会摧毁康托尔的形象。

它只是让他从一个神话般的英雄，重新变回一个真实的人。

康托尔协会主席里希特曾评价说：

“康托尔很难与他人建立联系。

对他来说，这非常非常困难。”

而费雷罗斯则给出了另一种解释：

“当时的康托尔非常年轻，充满激情和热情。

但他犯了一个很大的错误。”

最终，这个故事告诉我们的，并不是某位天才的陨落。

相反，它揭示了科学史更真实的一面：

伟大的思想往往诞生于合作、争论与复杂的人际关系之中。

英雄神话很动人。

但真实的历史，往往更加复杂，也更加有价值。

参考资料：

"The Man Who Stole Infinity" by Joseph Howlett from Quanta Magazine, Published February 25, 2026

量子号