基础理论中的两个重要定理的证明

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     命题1（产生新素数的定理）:设p1和p2是相邻素数，若相邻素数的差p2-p1>＝2，则在p2+2与3*p2（或2*p2+1）之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于2的，所以此过程是无穷的，故，只要有一对相邻素数的差为2则新的素数就会无穷无尽出现。（证明也可参见我的《数论探秘》）
    证：
奇素因子p第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在p2的第二个周期内必然有重复占位的，比如3p2就是3和p2重复占位了（比如2p2就是2和p2重复占位了），则在p2+2与3p2（或2*p2+1）之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
     而新素数和p2的差是从2到该数内的理论最大值（比如小于p或者小于√p，精确的理论值目前还没有人确定）之间的某个值，所以，该间距又是大于等于2的。
    因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。
随着素数p的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题1成立，证毕。

     命题2（产生素数对的定理）：对应项差为2（或者2m）的两个等差数列中,这两个数列还必须是素数的几率公式（比如6n+3就不行，是个合数公式），只要出现差大于等于4的相邻素因子（相邻素因子指数列中全体素因子中的相邻素数，不一定是全体素数中的相邻素数，比如数列30n+1中就没有2，3和5 这3个素数）就必然产生孪生素数对（或者差为2m的素数对）。（产生2生素数对即差为2m的素数对的充分条件也是这个，就是只要存在差大于等于4的相邻素数对就必然产生2生素数对）（证明也可参见我的《数论探秘》）
     证明：
     2n+1: 3，5，7，……，
     2n+3: 5，7，9，……，
     前面两个数列中，若相邻素数p2-p1>=4,则在p2的下一个周期由于节拍错位，必有至少一对素因子重复占位，如3p2,就是3和p2重复占位了。则比前一个周期多出一个空缺位置，就是素数对的位置(我们是成对筛选的，空白位置就是对应项都不是合数的位置，所以，空白位置就是素数对的位置)，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两个位置。为啥素数p2的下一个周期最大的必然是3p2呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有2倍数了，所以下一次就必然是3倍数，所以必然是3p2。3和p2必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！

     2n+1：  3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
     产生差为2m的素数对的充分条件也是这个，只要相邻素因子P2-P1>=4则在P2的下一个周期就必然产生差为2m的素数对。
     由于，素数越来越稀，大于等于4的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷多。

    有了这俩定理就可以推导和证明出来：素数有无穷多，素数差定理（差为2m的素数对都有无穷多）、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是成立的，而且是远远成立的！