已知 x＞0，y＞0，求 x／(2x+y)+y／(x+2y) 的最大值

波斯猫猫

已知x＞0，y＞0，求x／(2x+y)+y／(x+2y) 的最大值.
原创  艾尚数学  2026年4月1日12:35 浙江

luyuanhong发表于 2026-4-5 02:11 (数学期刊)

令2x+y=m，x+2y=n，则x=(2m-n)/3，y=(2n-m)/3.

∴ x／(2x+y)+y／(x+2y)=(2m-n)/(3m)+(2n-m)/(3n)

=4/3-(n/m+m/n)/3≤4/3-2/3=2/3.

波斯猫猫

令t=x／(2x+y)+y／(x+2y)，                                 
则(2t-1)x^2+(5t-4)yx+(2t-1)y^2=0.  
∴ (5t-4)^2y^2-4(2t-1)^2y^2≥0，
(5t-4)^2-4(2t-1)^2≥0，
3t^2-8t+4≥0，
(3t-2)(t-2)≥0，解得t≤2/3，或t≥2.
当t≥2时，易得(x+y)^2≤0，显然与条件矛盾.
当x=0，或y=0时，t=1/2.
故t≤2/3.

luyuanhong

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