你辛辛苦苦搞出来的东西，全世界都懒得看——格拉斯曼和哈密顿的憋屈往事

luyuanhong

你辛辛苦苦搞出来的东西，全世界都懒得看——格拉斯曼和哈密顿的憋屈往事

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 4 月 5 日 16:41  广东


赫尔曼·格拉斯曼

你有没有过这种体验——熬夜做出的东西，自己觉得牛得不行，结果发给别人，人家要么看不懂，要么懒得看，随便瞥一眼说“嗯，挺好”就没了下文？更扎心的是，你明明知道这条路是对的，但就是没人愿意陪你走。

数学史上那些开天辟地的大发现，是一出来就被众星捧月，还是发明者得自己扛着棺材板，等死了几十年后才被人从坟里挖出来说“哎呀这家伙真牛”？

答案是后者，惨烈程度远超你想象。

赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann），德国乡下中学老师，自学数学，写出一部奠定现代线性代数基础的巨著，结果寄给高斯，高斯说“我忙，没空看”。寄给默比乌斯，默比乌斯说“我读了三遍，每次都被你的哲学绕晕”。这本书几乎无人问津。


威廉·罗恩·哈密顿

而跟他同时代的爱尔兰天才威廉·罗恩·哈密顿（William RowanHamilton），虽然名气大得多，但提出四元数后也被同行嘲笑，连铁杆朋友都读不下去。

这两位的故事，简直就是“天才被当疯子”的双人套餐。

哈密顿的尴尬：连支持者都读不下去

哈密顿可不是无名小卒——他十来岁通晓多门语言，22 岁当上爱尔兰皇家天文学家，30 岁封爵。1843 年他在都柏林散步时灵光一闪，在桥上刻下四元数公式，堪称数学史上的名场面。他发明的“矢量”这个词沿用至今。



但你以为他的新发现会像网红新品一样刷屏？想多了。

1847 年，哈密顿在英国科学促进会上宣讲四元数。有位听众站起来问：“使用您的新微积分，犯错的可能性有多大？”哈密顿回了一句挺损的话：“我们不应该对人们犯错误的能力设限。”——言下之意，你犯错别赖我。

接着，皇家天文学家乔治·艾里（George Airy）说话了。艾里曾盛赞哈密顿对锥形折射的预言是“可能有史以来最伟大的预言”，但此刻他对四元数很不感冒。艾里坦承自己“一无所知”，然后补了一刀：“我不知道的东西，也不值得我知道。”你品品，这像不像公司里某个领导说“我不懂技术，但你做的肯定不对”？两百年前就这样了。

更让哈密顿心塞的是，他的好朋友约翰·赫歇尔（John Herschel）一开始激动得不行，连夜写信说《四元数讲义》“需要读者花至少一年阅读，几乎要花一辈子消化”。六年后，赫歇尔再次拿起这本书，觉得稍微好懂了点，但读了 3 章还是放弃了——他受不了书中那些怪异的哲学阐释。赫歇尔委婉建议：你能不能先把数学讲清楚，再让我去理解你的形而上学？

连铁哥们都读不下去。

格拉斯曼：比哈密顿惨十倍

如果连功成名就的哈密顿都这么难，那一个自学成才、住在偏远小城的中学教师呢？


赫尔曼·格拉斯曼

赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann），1809 年生于波美拉尼亚的什切青（今属波兰）。他父亲是神学家兼数学教科书作者，家里 12 个孩子。小时候格拉斯曼没表现出任何数学天赋，他爹一度觉得他以后只能当园丁。

但格拉斯曼偏不——他考入柏林大学学语言学和神学，毕业后回家自学数学，通过教师资格考试，在当地中学教数学、科学、拉丁语和宗教。

他跟英国那位自学成才的乔治·布尔（George Boole）处境很像，但布尔后来当上了大学教授，格拉斯曼却一辈子没混到。

他有野心，也想升职。1840 年，他写了一篇 200 页的潮汐理论论文，提交给柏林考试委员会。论文里他用了一种全新的数学方法——本质上就是矢量代数——来处理潮汐问题。他惊讶地发现，“用这种方法进行计算竟然如此简单”。结果呢？考官根本看不懂他的数学基础，论文被拒，晋升泡汤。

换了你，是不是就放弃了？格拉斯曼没有。1844 年，他自费出版了一部巨著《线性扩张论》（Die lineare Ausdehnungslehre）。书里他用德语单词“Strecke”（可译为“线段”或“扩张”）来描述我们今天说的矢量。他发现，两个这样的“有向线段”相乘，交换顺序会改变符号——这就是反交换性，跟哈密顿四元数乘法不交换是同一个洞见。

格拉斯曼搞这套东西的动机之一，来自默比乌斯 1827 年提出的重心坐标。但格拉斯曼走得更远——他研究的不是具体的线段，而是未指定的抽象元素。他定义了加法、数乘和一种乘法，从“简单量”出发生成更复杂的量。这套系统里已经包含了线性无关、线性相关、维数（虽然他没用这个词）以及内积的雏形。用今天的术语说，他实际上发明了数域上的代数（algebra over a field）——既有加法又有乘法的矢量空间。现在这类结构就叫“格拉斯曼代数”。



他太超前了。他在书中写：“我更进一步，我不仅把这些叫做量，而是叫做简单量。还有其他的量，它们本身是复合的，彼此之间的特征差异就像不同简单量的特征差异一样清晰。”——这几乎就是在说公理化。

寄给高斯，高斯说“我很忙”

书一出版，格拉斯曼就寄了一本给当时德国最牛的数学家——卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）。高斯回信说：这些东西我半个世纪前就想过了，1831 年还发表过一些结果。他说自己很忙，要熟悉格拉斯曼那些“特殊”术语需要时间。翻译成人话：我没空看。

格拉斯曼没灰心，又跑去莱比锡拜访高斯的学生——奥古斯特·费迪南德·默比乌斯（August Ferdinand Mobius）。两人见了一面，默比乌斯觉得挺投缘。格拉斯曼随后写信，谦逊地请求默比乌斯为他的书写一篇评论。然后他等了四个月。



默比乌斯实在读不懂。他在回信中说，自己多次尝试阅读，但每次都被哲学阐释难倒。不过，在“强迫自己”读下去之后，他觉得格拉斯曼对几何加法和乘法的系统展示——也就是矢量代数——可能对数学发展“有些许好处”。他建议格拉斯曼自己写一篇评论。格拉斯曼照做了，把书和自写评论寄给一家数学期刊的编辑。编辑也觉得太难读，但还是好心地把那篇评论发表了。结果呢？那是《线性扩张论》收到的唯一一篇评论。

有个叫巴尔策的数学家尝试读这本书，说每次试图进入格拉斯曼的思维过程，就感到“头晕目眩，眼前只剩下一片天蓝色”。默比乌斯回信说：我太懂这种感觉了！

论文竞赛：唯一的参赛者

1845 年，默比乌斯告诉格拉斯曼一个消息：有个学术论文竞赛，题目是莱布尼茨 1679 年提出的老问题——为几何寻找一种新的代数，能直接表达空间位置的“线性的代数”。竞赛是为了纪念莱布尼茨诞辰 200 周年。格拉斯曼参赛了。他是唯一的参赛者。1847 年，他的获奖论文发表，附有默比乌斯撰写的附录。默比乌斯的名声和人脉，总算让更多数学家注意到了格拉斯曼。

但论文还是难懂。哈密顿在 1850 年左右听说了格拉斯曼的著作，开玩笑说，“我可能需要学会吸烟才能读完它”。1852 年秋天他终于开始读，然后写信给朋友奥古斯都·德摩根说，这是“一部原创性极强的作品”。三个月后他还在读，说“怀着极大的钦佩和兴趣”。不过哈密顿也吐槽：格拉斯曼用了 139 页的篇幅，最后才说到重点——有向线（矢量）的代数。而哈密顿自己很早就构思出了这一点。

两位天才，一种憋屈

哈密顿和格拉斯曼的差异挺有意思。哈密顿的四元数主要是为了处理三维旋转，实用导向强；格拉斯曼的系统更抽象、更一般化，能推广到任意维数，本质上就是今天的线性代数和张量代数雏形。但正因为太抽象，同时代的人根本接不住。

格拉斯曼在 1862 年出了《线性扩张论》第二版，减少了哲学阐释，增加了数学内容。这次再版得益于数学家阿尔弗雷德·克莱布什（Alfred Clebsch）的鼓励——克莱布什是少数几个看出格拉斯曼价值的人。格拉斯曼在序言中写道：“为了获得这本书中的科学发现，我付出了很多艰苦的努力，它占据了我人生中的很大一部分。但我完全相信，我的努力不会白费。”他希望自己的想法最终会结出硕果，不管沉寂多久。



它们确实沉寂了很久。第二版也没引起什么关注。

柯西风波与汉克尔的认可

更让格拉斯曼憋屈的是，1853 年，法国大数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）发表了一篇论文，描述了一套形式符号方法，竟然与格拉斯曼的方法完全一致——但柯西一个字都没提格拉斯曼。格拉斯曼向法国科学院申诉，要求确认优先权。1854 年，科学院成立了一个委员会调查。然后呢？我们至今还在等这个委员会的报告。

第一个真正认识到格拉斯曼工作重要性的人是赫尔曼·汉克尔（Hermann Hankel）。1867 年，汉克尔发表论文，明确将格拉斯曼的《线性扩张论》作为自己工作的基础，公开致谢。总算让格拉斯曼的名字在数学圈里多了一点回响。


赫尔曼·汉克尔

但到 1860 年代，格拉斯曼基本离开了数学。他转而研究梵文，翻译了 1123 页的《梨俱吠陀》，因此获得美国东方学会会员资格和图宾根大学荣誉博士学位。他结了婚，养了 11 个孩子（4 个夭折）。1877 年去世。

哈密顿也没好到哪去。他生命的最后 20 年几乎全投入四元数研究，发表了 100 多篇论文。许多人认为这是一种自欺欺人的执迷。不过，他的学生彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）成了坚定战友，1873 年出版四元数专著，大力推广。

后来呢？皮亚诺终于给出了公理

1888 年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在都灵出版了一本书《根据格拉斯曼的扩张论的几何计算》。这本书给出了集合运算的基本演算，引入了现代符号 ∩、∪、∈ ——这些符号过了很多年才被普遍接受。但更惊人的是，它在第九章里给出了线性空间的公理化定义。


朱塞佩·皮亚诺

很难相信这是 1888 年写的——你几乎会觉得它出自 1988 年的教科书。皮亚诺定义了相等、加法（交换律、结合律）、正整数倍（分配律等），并假设对任意实数倍数也有意义。他定义了零元素和减法，然后说：满足这些条件的系统叫做线性系统。接着他定义了线性相关、线性无关，以及维数——极大线性无关对象的个数。他证明了有限维空间有基，还举了无限维的例子：所有整函数（任意次多项式）构成无限维线性空间。

皮亚诺在序言中明确致谢了四位先驱：莱布尼茨、默比乌斯（1827 年）、格拉斯曼（1844 年）以及哈密顿（四元数）。格拉斯曼和哈密顿的名字，终于被正式刻入了线性代数公理化的奠基石。

不过讽刺的是，皮亚诺这本书在当时也没引起多大反响。又过了几十年，到 20 世纪 20 年代，斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和他的学派才开始系统研究公理化无限维矢量空间——也就是后来的巴拿赫空间。而格拉斯曼那本没人读的《线性扩张论》，这时候才被数学家们从灰尘里翻出来，惊呼：原来这哥们一百年前就想到了！


斯特凡·巴拿赫

一点个人感慨

读这段历史，我一直在想：如果格拉斯曼当年寄给高斯的不是一本晦涩的哲学化专著，而是一篇干净利落的论文，结局会不会不一样？但如果那样，他可能就不是格拉斯曼了。他的天才和他的怪癖是一体两面。

另一个让人唏嘘的点是：哈密顿和格拉斯曼几乎同时发现了类似的东西，但两人彼此不认识，各自孤独地扛着。哈密顿好歹有爵位有地位，格拉斯曼什么都没有。他唯一能依靠的，就是自己那股不服输的劲儿。

数学史跟艺术史差不多——梵高活着的时候只卖出一幅画，巴赫死后近 80 年才被门德尔松翻出来。格拉斯曼的《线性扩张论》也是这么一本“死后封神”的作品。如果一个人做研究只是为了活着的时候被认可，那多半撑不过那种漫长的沉默。他能在完全没人理解的情况下坚持二十年，修订再版，只能说明一件事：他自己深信这条路是对的。

这种信念，比任何外界的掌声都值钱。当然，如果能同时有点掌声，就更好了。

南方 Er