数学趣闻：完全数——最完美的数

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数学趣闻：完全数——最完美的数

原创  天门老三  天门老三  2026 年 4 月 7 日 09:00  上海

引言：数学是一门学科，也是科学，从人类存在开始到现在，就一直存在、一直在发展。人类对数学知识的不断理解、研究、归纳、拓展，最终利用数学知识及其运用，更深刻的理解自然、理解宇宙。如果将宇宙的终极奥义比作数轴，人类像是无限逼近于数轴的曲线，随着时间的推移，相信会更加接近那个终点，直至达到。



在数论中，有一类数字被称作完全数，是指一个正整数，其所有真因子（不包括自身的正约数）之和恰好等于它本身。什么意思呢？举个例子就知道了。

比如 6 ，把它的因数列出来：1、2、3 。把 3 个因数加起来 1 + 2 + 3 = 6 。等于它本身。数学家给这样的数起了个名字“完全数”。一个数，恰好等于它所有真因数之和。

古希腊的毕达哥拉斯学派最早研究完全数，他们发现了发现 6 和 28 都是这样的数。28 的因数是：1、2、4、7、14 。加起来 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 。

后来欧几里得找到了一种构造偶完全数的公式，并记录在了《几何原本》中。即如果 2^p-1 是一个质数，则 N = 2^(p-1)×(2^p-1) 是一个完全数。欧几里得利用此公式发现了前四个完全数，对应 p 的取值为：



四个数，跨越了 8000 多。古希腊人发现这四个之后，找了很久，没找到下一个。他们开始相信，这样的数有某种神秘的意义。

在后来的十五~十六世纪，人们发现了第五、六、七个完全数，分别是：33550336、8589869056、137438691328 。

这里的关键，是 2^p-1 这种形式的质数。17 世纪法国数学家马林·梅森系统研究并给它一个专门的名字：“梅森质数”。从此，完全数的问题，和梅森质数完全绑在一起。1772 年，瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉（1707～1783）在双目失明的情况下，靠心算证明了 M31 （ p=31 时的梅森质数）的确是质数，这个数是 2147483647 。（欧拉够 BT ，眼瞎的情况下心算出这个数）。这是人们找到的第 8 个梅森质数，是当时世界上已知的最大质数。而对应的完全数是 2305843008139952128 ，欧拉还证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理：所有的偶完全数都具有 2^(p-1)×(2^p-1) 的形式，其中 2^p-1 是质数。这表明梅森质数和偶完全数是一一对应的。找到一个新的梅森质数，就找到一个新的完全数。

19 世纪 70 年代，法国数学家爱德华·卢卡斯（1842～1891）提出了一个用来判别 Mp 是否为质数的重要定理“卢卡斯定理”，为梅森质数的寻找提供了有力的工具。1876 年，卢卡斯证明 M127 确实也是质数，这是人们靠手工计算发现的最大梅森质数，长达 39 位。（这个数是 170141183460469231731687303715884105727 ，对应的完全数太大了，有 77 位）。这是第 12 个梅森质数，却比第 9、10、11 先发现。

进入 20 世纪后，计算机开始代替人工计算，更多的梅森质数和完全数被发现，迄今为止总共发现了 52 个梅森质数和完全数。最大的的梅森质数达到了 41024320 位，而对应的完全数则有 82048640 位。这是 2024 年被发现的。

还有另一个问题，悬了两千多年：奇数完全数存在吗？没有人找到过一个。也没有人证明它不存在。已知的所有完全数，全部是偶数。

完全数有很多奇怪的特性，除了前面说的完全数等于它的所有真因子之和。这是第一个特性。

还有目前已发现的完全数，个位都是 6 或者 8 。这是第二个特性。

除 6 以外，每个完全数均可表示为连续奇立方数之和，如：

28 = 1^3 + 3^3 ，496=1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3  ，这是第三个特性。

完全数的所有约数（包括自身）的倒数之和恒等于 2 。如：

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 ，

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2 ，

这是第四个特性。

完全数的二进制表示非常规则，如：

6 = 110（二进制）

28 = 11100（二进制）

496 = 111110000（二进制）

p 个 1 和 p-1 个 0  ，这是第五个特性。

也许正因为完全数有这么多特性，它有个另外的名字“完美数 Perfect Number ”。

天门老三