一种强大的新型“二维码”解开数学中最复杂的结

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一种强大的新型“二维码”解开数学中最复杂的结

原创  Erica  Klarreich  杭爱山畔的孤鹰  2026 年 4 月 27 日 23:30  法国

从你电脑线的缠绕到猫咪弄乱的编织篮，日常生活中到处都是结。它们在科学领域也无处不在，比如 DNA 的环状结构、相互缠绕的聚合物链以及漩涡状的水流。而在纯粹的数学领域，结是拓扑学中许多核心问题的关键所在。

然而，纽结理论学家仍在为最基本的问题而苦苦思索：如何区分两个纽结。

仅通过观察很难判断两个复杂的结是否具有相同的结构。即便它们看起来完全不同，你或许也能通过移动一些绳索将其变成另一个结。（在数学家看来，结的两端总是固定在一起的，所以这样的移动不会使其松开。）

在过去的一个世纪里，纽结理论学家开发出了一套清晰但并不完美的工具来区分纽结。这些工具被称为纽结不变量，它们各自测量纽结的某个方面——可能是由其相互缠绕的线段形成的图案，也可能是其周围空间的拓扑结构。如果你用一个不变量来测量两个纽结，得到的结果不同，那么你就证明了这两个纽结是不同的。但反过来却并非总是如此：如果不变量给出的结果相同，那么这两个纽结可能是相同的，也可能是不同的。

悉尼大学的丹尼尔·图本豪尔说：“有些不变量在区分纽结方面比其他不变量更有效，但这是有代价的：这些更强的不变量往往很难计算。大多数不变量要么非常强大但无法计算，要么容易计算但非常弱。”

当绳结的交叉点达到 15 或 20 个时，许多不变量就开始失效——要么无法区分很多绳结，要么计算起来太难。多伦多大学的德罗尔·巴纳坦博士说，对于大多数绳结不变量，“如果你说‘300 个交叉点’，然后再说‘计算’这个词，那你就进入了科幻领域。”


这是彼得·格思里·泰特 1885 年发表的一篇论文中的一页，他在文中区分了具有 10 个交叉点的不同结。

但如今，荷兰格罗宁根大学的巴尔纳坦（Bar-Natan）和罗兰·范德维恩（Roland van der Veen）提出了一种纽结不变量，它让数学家不必在两难之间做出选择：既强大又易于计算。“它似乎正好处于令人兴奋的事情发生的最佳位置，”未参与此项工作的图本豪尔（Tubbenhauer）说道。

这种力量与速度的结合意味着数学家能够探究此前遥不可及的纽结。对于多达 300 个交叉点的纽结，计算新的不变量轻而易举，而巴尔 - 纳坦和范德维恩甚至计算出了超过 600 个交叉点的纽结的某些不变量方面的内容。

“从某种意义上说，我们就是即兴发挥的。”格罗宁根大学的罗兰·范德维恩说道。

耶路撒冷希伯来大学的吉尔·卡莱说：“这一突破堪比一种新型望远镜：它不仅在熟悉的范围内提供了更清晰的分辨率，而且将我们的观测范围扩大了 10 倍。”

对于每个结，该不变量都会输出一个色彩斑斓的六边形“二维码”，其对称且细节精致，宛如雪花。“输出结果美得惊人，变化无穷，”英属哥伦比亚大学的利亚姆·沃森说道，“它似乎来自另一个世界。”

数学家们希望这些复杂的图案能引领他们发现单个纽结更深层次的拓扑特征。“你会立刻开始思考，”沃森说，“是什么造就了这个特定的图案？”

结的桶

设想这样一个游戏：你画出一个结，然后尝试将其每根线段涂成红色、黄色或蓝色。规则是每种颜色至少要用一次，并且在每个交叉点处，要么三种颜色都有，要么只有一种颜色。有些结可以这样着色，但有些不行——比如，三叶结可以着色，但八字结不行。



无论你如何进一步打乱任何一个给定的结，如果它一开始是“三色可着色”的，那么它就会一直保持这种状态。同样，那些一开始不是三色可着色的结也会一直保持这种状态。这使得三色着色成为结的一个不变量。

判断一个结是否为三色结并非难事，但这种不变量在区分结方面效果不佳。它仅将结分为两类：三色结和非三色结。如果要区分的结恰好处于同一类，那你就没辙了。你可以通过使用更多颜色和规则，并测量一个结有多少种着色方式，而非仅仅判断其能否着色，来改进这种不变量。这些改进会生成更强的不变量，但计算起来也会更复杂。

“这一突破堪比一种新型望远镜。”耶路撒冷希伯来大学的吉尔·卡莱（Gil Kalai）说道。

在过去的一个世纪里，纽结理论学家们提出了数百种不变量。借助这些工具，他们成功地对 20 个或更少交叉点的超过 20 亿种纽结进行了分类——考虑到可计算且强大的不变量的短缺，这是一项了不起的成就。谈到识别纽结，“在一百年的纽结理论中，我们拥有的工具并不是特别出色，”图本豪尔说道。

这在一定程度上是因为最强的纽结不变量往往源自对纽结内部深奥拓扑结构的研究。但很少有纽结理论家既精通这些理论概念，又熟悉设计易于计算的不变量所需的计算考量。

巴尔 - 纳坦和范德维恩这两位既是理论家又是编程高手的人是这条规则的例外。他们的新不变量源自深刻的拓扑学思想，但目前他们主要致力于创建一个快速、强大的不变量。沃森说，以这种将可计算性作为优先事项的方式在纽结理论中是“一种文化上的新事物”。

一条打结的道路

巴纳坦对新不变量的研究始于二十年前，当时他试图理解带状结——沿着穿过自身的带状物边界延伸的结。这项工作促使他重新审视一个特别强大的不变量，即科恩积分，它包含了许多其他结的不变量。数学家们推测，这个不变量非常强大，能够区分所有的结。

巴尔 - 纳坦说：“大约五分钟里我感到很开心。”接着他提醒自己，从实际角度来看，康采维奇积分根本无法计算。“它只是个抽象的东西，你无法从中推断出任何关于现实生活中绳结的信息。”


越来越复杂的“方格编织”结的二维码。德罗尔·巴-纳坦、罗兰·范德维恩

巴尔 - 纳坦着手尝试用一些更易计算的不变量来近似康采维奇积分，这些不变量仍能保留其部分有价值的信息。存在一个特定的自然不变量序列，能捕捉到康采维奇积分越来越多的细节。但除了序列中的第一个成员外，没人知道如何高效地完全计算这些不变量。

“其输出效果美轮美奂，变化无穷，简直令人难以置信。它似乎来自另一个世界。”——不列颠哥伦比亚大学的利亚姆·沃森

2015 年在奥胡斯大学的一次讲座上，巴尔 - 纳坦分发了一份讲义，阐述了他的目标。在底部，用大号的洋红色斜体字写着：“急需帮助！”当时在场的范德维恩响应了这一呼吁。两人一起努力，试图弄清楚如何超越这一序列中的第一个不变量。

他们首先着眼于第一个不变量：所谓的亚历山大多项式，它于 1923 年被发现。在结的领域中，多项式将结的测量值转化为数字和变量的幂次组合，例如 3x^7 + 8 。（亚历山大多项式还涉及 x 的倒数的幂次。）在过去的一个世纪里，数学家们想出了几十种不同的方法来计算一个结的亚历山大多项式。巴尔 - 纳坦和范德维恩着手将其中一种方法进行推广，最终他们能够用汽车交通的语言来表述这种方法。

想象一个结就像一条单行道，你在某处把它剪开，这样它就有了起点和终点。再想象一下，在每一对交叉点之间都有一座城市。如果一辆车从这条公路的起点出发，它会依次经过每座城市一次，然后从终点驶离。



要构建亚历山大多项式，想象在每个交叉点处，从上桥到下桥都有一个可选的下坡匝道。当一辆车到达上桥时，有一定概率——称其为 x ——这辆车会走下坡匝道而不是上桥。（实际的设置要复杂一些，有时会涉及 x 的倒数。）



现在一辆车不一定恰好经过每个城市一次。假设你在迈阿密同时派出 100 辆车，并询问有多少车会经过亚特兰大。有些车可能会经过亚特兰大一次，但其他车可能会多次经过，甚至完全绕过它。经过亚特兰大的预期车流量可以写成一个关于 x 的函数，该函数能反映绳结各股线如何相互缠绕进出的信息。

对于每一对城市，您都可以构建一个交通函数。这些函数的简单组合便产生了亚历山大多项式，这是康采维奇积分的第一个近似值。

巴尔纳坦和范德维恩认为，或许有可能通过构建一个涉及两种汽车的交通场景来为这一序列不变量中的第二步写出类似的公式，这两种汽车从下坡匝道驶出的概率不同（比如分别为 x 和 y）。但尽管他们付出了诸多努力，却始终未能想出一个可行的交通设置方案。后来有一天，他们从亚原子粒子的数学原理中获得了灵感。

正如粒子可以结合或分裂成其他粒子一样，巴尔 - 纳坦和范德维恩设想他们的两种汽车有时会结合在一起形成第三种车辆——就好像其中一辆被另一辆拖着一样。然后这两辆车会作为一个整体在高速公路上行驶。之后，它们可能会再次分开，各自前行。这一次，您不仅可以计算从迈阿密出发的交通流量中有多少会经过亚特兰大，而且还要记录不同类型的车辆。


几个有 300 个交叉点或更多交叉点的纽结的二维码。

德罗尔·巴尔-纳坦（Dror Bar-Natan）和罗兰·范德维恩（Roland van der Veen）确信他们找到了正确的设定，但他们仍不知道如何将所有的交通函数结合起来直接生成一个纽结不变量。不过，他们的设定确实让他们对这种不变量应有的大致“形态”有了感觉。于是，他们采用了老办法，先写下符合大致形态的公式，然后调整其系数，使其在纽结的线段移动时仍保持不变。

范德维恩说：“在某种程度上，我们就是即兴发挥的。”其结果是一个关于变量 x 和 y 的复杂多项式，这让其他研究人员感到困惑不已。“你用汽车、岔路口和概率做这么复杂的事情，而无论你对这个结拍下什么样的照片，得出的答案都是一样的——这太神奇了，”悉尼大学的苏珊娜·丹科说道，“他们到底是怎么想到这个办法的？”

结的梦

尽管多项式看起来很复杂，但计算机可以轻松计算，即使对于有数百个交叉点的结也是如此。而且它很强大：例如，图本豪尔计算得出，该不变量能唯一识别出超过 97% 的 18 个交叉点的结。相比之下，琼斯多项式是用于编目结的最广泛使用的不变量之一，仅能识别约 42% ，而亚历山大多项式只能识别约 11% 。

沃森说：“我认为没有什么能与这个不变量的可计算性和相对威力相媲美。”

通过将多项式的系数以某种热图形式绘制出来，研究人员创造出了引人注目的视觉效果——每个结都有一个精美的六边形二维码。如果两个结的二维码不同，那么它们就肯定不是同一个结。



巴尔纳坦和范德维恩预计，这种二维码除了用于区分不同的结之外，还会有许多其他用途。在他们论文中名为“故事、猜想与梦想”的部分，他们提出这种二维码或许有助于阐明结的众多拓扑特征。例如，他们认为六边形的直径将为一种称为结的亏格的结复杂度度量设定下限（亏格对于曲面的研究也至关重要）。丹科索说，如果这一设想得到证实，“那就意味着我们将能够更有效地计算大型结的亏格。”

巴尔纳坦和范德维恩以及其他研究人员坚信，这个新不变量等同于康采维奇积分的二次近似，数学家们称其为双环多项式，并对其研究了数十年。“我愿意拿我的房子打赌”，北卡罗来纳大学教堂山分校的列夫·罗赞斯基说道，他是最早研究双环多项式的人之一。

在传统形式下，双环多项式难以计算但拓扑结构丰富。因此，证明这种等价性将立即证实巴尔纳坦和范德维恩赋予其新不变量的大部分拓扑力量。即便如此，作者们仍希望最终能够以更简单的方式解释这个新不变量。“一个基本的构造应当有简单的解释，”他们写道。

从某种意义上说，他们觉得自己仿佛误打误撞闯进了故事的中间。“我们对故事的开头和结尾都相当不确定，”他们写道。

与此同时，没有任何因素能阻止研究人员尝试构建包含更多车辆和变量的交通场景，以期捕捉到康采维奇积分中蕴含的更多信息。“还有一大堆类似的情况正等着我们去探索，”范德维恩说道。



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