那个把三角形挖到无穷无尽的人，自己也活过了一次又一次的推倒重来

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那个把三角形挖到无穷无尽的人，自己也活过了一次又一次的推倒重来

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 5 月 7 日 11:39  广东


谢尔宾斯基

1899年秋天，十七岁的瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpinski）走进华沙大学物理数学系大楼时，走廊里所有的公告牌、课程表、甚至连厕所门牌都用俄文书写。教室里坐着的教授没有一个波兰人。

说起来，这所学校当时压根不叫华沙大学。它的正式名字是“沙皇大学”——1869 年俄国人彻底接管之后，连校名都换掉了。波兰学生坐在自己祖国的土地上，听俄国教授用俄语讲数学，期末考试如果俄语科目不及格，其他成绩再好也得卡住学位。

谢尔宾斯基选择了一种沉默的抵抗。那门必修的俄语语言课，他整整一学年一个问题都不回答。期末成绩出来：不合格。教务处的学监找他谈话，说你去补考吧，否则拿不到数学科学候补博士学位。他回答说，这将是我们大学第一个案例——一个所有专业课成绩优异、论文拿了金奖的学生，就因为俄语差一档，被降到低一级的学位。

那个学监后来把成绩改了。谢尔宾斯基晚年回忆起这件事，只说了五个字：“警察也是人。”


谢尔宾斯基

这件事发生在 1904 年前后。同一时期，这个拒绝说俄语的年轻人正在思考一个看起来毫无政治色彩的问题：平面上一个以原点为圆心、半径为 r 的圆里，到底有多少个坐标为整数的点？

你可能会想，这不就是个计数问题吗？近似一下，大约就是圆的面积 πr^2 嘛。高斯（Carl Friedrich Gauss）在 1837 年就证明了误差大约不超过 r 的一次方。问题是，这个“大约”能不能说得更精确一点？

谢尔宾斯基在 1904 年那篇拿金奖的论文里做到了：他把高斯的误差界从 r^1 压缩到了 r^(2/3) 。这个改进在今天看来或许只是一个指数的微调，但在当时足以让爱德蒙·朗道（Edmund Landau）在 1913 年专门写文章称赞它“深刻”。后来哈代（G. H. Hardy）、李特尔伍德（J. E. Littlewood）、维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）一批顶尖数学家接力似的往下压这个指数，一百多年过去了，目前最好的记录停在 r^0.6298 左右。没人知道能不能压到 r^(1/2) ——这条底线就像悬在那儿的终点线，谢尔宾斯基是早期跑出去的那批人里，第一个真正跑出加速度的。

不过更有意思的事情还在后面。

1907 年某一天，谢尔宾斯基偶然读到一个定理：平面上的点居然可以用一个坐标来唯一确定。什么意思？正常我们定位平面上一个点需要两个数字，横坐标和纵坐标，这是笛卡尔坐标系的基本常识。但居然有人断言一个坐标就够了，这简直是在挑战直觉。谢尔宾斯基想不通，写信给正在哥廷根留学的好友巴纳切维奇（Tadeusz Banachiewicz），问这是怎么一回事。好友回信只有一个词：康托尔（Georg Cantor）。



就这一个词，把谢尔宾斯基拽进了集合论的世界。两年之后，1909 年，他在利沃夫大学开出了历史上第一门完全以集合论为主题的课程。注意这个时间节点：康托尔创立集合论是 1870 年代的事，此后几十年里大多数数学家对这个新玩意儿要么敬而远之，要么嗤之以鼻。康托尔本人都因为承受不了学界压力，反复进出精神病院。而谢尔宾斯基，一个刚拿到博士学位没几年的波兰青年，不仅读懂了康托尔，还站在讲台上向学生系统地讲授那些关于无穷的奇怪定理。


谢尔宾斯基

他大概是那种一旦对什么东西产生兴趣，就整个人扎进去的性格。从 1908 年到 1914 年，他在利沃夫大学教书期间出版了三本书：《无理数理论》（1910）、《集合论纲要》（1912）和《数论》（1912），外加一大摞研究论文。其中 1912 年他顺手画出了两条后来以他名字命名的著名曲线。



一条叫谢尔宾斯基曲线。想象一个正方形，你画一条连续的封闭曲线，它从正方形内部的每一个点穿过。它有多长？无限长。它围住的面积呢？只有正方形的 5/12 。另一条叫谢尔宾斯基三角形——取一个实心三角形，挖掉中间的四分之一，然后对剩下的三个小三角形做同样的事，一直挖下去无穷无尽。最后你得到的是面积为零、却有无限多孔洞的一个形状。



这两样东西放在今天的高中数学课外读物里，大概会被贴上“分形”的标签。但 1912 年这个领域还没有名字，人们只是隐约感到这里面有什么重要的东西在被撬动。康托尔四十年前搞出了一个处处不连续却不可数的点集，谢尔宾斯基在二维平面上接过了这个想象力的接力棒。



说起来我在想，为什么恰好是无限这个概念吸引了当时身处波兰的数学家？也许纯粹是巧合，也许不是——当一个人每天生活在某种被压缩、被控制的现实里，思维反而格外容易飞向那些不受边界限制的东西。当然这只是我的猜测。

1914 年第一次世界大战爆发时，谢尔宾斯基恰好和家人一起在俄国境内。俄国和奥匈帝国都在打波兰这张政治牌，他成了敌国侨民，被扣留在维亚特卡。如果不是叶戈洛夫（Dmitri Egorov）和卢津（Nikolai Luzin）这两位莫斯科数学界的重量级人物出面周旋，把他接到莫斯科去，他可能整个战争期间都得困在那个小地方。

这批俄国数学家的援手倒不完全是出于人道主义。谢尔宾斯基当时已经在集合论圈子里有了名声，卢津本人正在建立那支后来被称为“莫斯科数学学派”的研究力量，正缺志同道合的合作者。接下来的几年里，谢尔宾斯基和卢津联手研究解析集和射影集，把描述集合论往前推进了一大步。


谢尔宾斯基

1916 年，他还干了一件很有趣的事：构造出人类历史上第一个“绝对正规数”。这是个什么概念呢？简单说，一个小数，不管用十进制、二进制还是任何进制去写，每一位上每个数字出现的频率都相等。埃米尔·博雷尔（Emile Borel）之前用概率方法证明了这种数的确存在，但谢尔宾斯基是第一个真正给出具体构造的人。你大概能感觉到他做数学的风格——不满足于“存在”的证明，非要亲手把它造出来看看长什么样。

1918 年一战结束，波兰复国。谢尔宾斯基先回利沃夫，很快又接到华沙大学的聘书，1919 年正式成为教授。他再也没有离开过华沙。

1920 年是波兰数学史上一个应该被记住的年份。谢尔宾斯基和他的学生马祖尔凯维奇（Stefan Mazurkiewicz）一起创办了《数学基础》（Fundamenta Mathematicae）。这本杂志从一开始就做了个在当时看来有点“任性”的决定：只收集合论和拓扑学的论文，而且所有文章都用法文或德文发表，保证国际同行能直接阅读。世界上第一本集合论专业期刊就这样诞生在华沙。


谢尔宾斯基

此后将近二十年里，波兰集合论学派成为全世界公认的重镇。谢尔宾斯基自己在选择公理（Axiom of Choice）和连续统假设（Continuum Hypothesis）上都留下了关键贡献。他的论文和专著以惊人的速度往外冒——如果你去数他一生发表的数字，724 篇论文，50 本书，在数学家里属于金字塔尖上的那层。

然后 1939 年来了。

纳粹德国占领波兰后，所有高等教育机构被取缔。华沙大学的教授们转入地下教学，谢尔宾斯基白天在市政办公室当小职员，晚上给秘密大学的学生上课。做研究的条件近乎荒谬——没有图书馆，没有期刊，连稿纸都得省着用。但他还在写论文，通过某种渠道寄往意大利发表。每一篇的结尾都附着一句暗语：“这些定理的证明将刊于《数学基础》。”字面意思是通报发表计划，读懂的人都明白，他在说波兰还会活下去。

他活了下来。但代价惨重。

1944 年华沙起义失败后，纳粹放火烧了他的房子。一生收藏的数学书、期刊、私人信件、未完成的手稿，全部化为灰烬。比他个人的损失更大的，是整个波兰数学界付出了血债。


谢尔宾斯基

1945 年在克拉科夫雅盖隆大学的一次讲座上，谢尔宾斯基一个一个念出遇难者的名字：他最年长的学生之一鲁杰维奇（Stanisław Ruziewicz），1941 年 7 月被杀害，利沃夫扬·卡齐米日大学的退休教授。最杰出的学生之一萨克斯（Stanisław Saks），1943 年被杀害，当时是华沙大学助理教授，积分论领域的世界级专家。另一个学生林登鲍姆（Adolf Lindenbaum），1942 年被杀害，同样在华沙大学任教，集合论研究的重要作者。还有肖德尔（Juliusz Schauder），还有迪克施坦（Samuel Dickstein），还有扎伦巴（Stanisław Zaremba）……

他说：“在我们的学术机构任教的数学家中，超过一半被杀。这对某些领域本来发展顺利的波兰数学——比如集合论和拓扑学——是一个沉重的打击。”这句话读起来像在陈述事实，但你得知道，念出这些名字的人自己当时已经六十三岁，也在鬼门关前走了几个来回。

与此同时，物质损失同样触目惊心。华沙大学图书馆被焚毁，数千册藏书荡然无存。《数学基础》三十二卷全部烧光，《数学专著》丛书十卷也一并遭殃。华沙大学全部四位数学教授的私人藏书、战时写下的手稿和教材手稿统统化为灰烬。

换个性格的人，可能就此打住了。但谢尔宾斯基在战后继续出版了几十篇论文和多本专著，一直工作到 1967 年——那时候他已经八十五岁了，依然在波兰科学院主持数论研讨班。他的学生罗特基耶维奇（Andrzej Rotkiewicz）后来回忆说，谢尔宾斯基身体好得出奇，性格也开朗，“在任何条件下都能工作”。

还有些细节挺有意思：他不喜欢别人改他的论文。如果谁提了修改意见，他就在文章里加一行“某先生指出……”，原文原样不动。罗特基耶维奇给了他一个概括：“他是一颗创造性的头脑，喜欢创造性的数学。他是波兰数学家中最伟大、最多产的一个。”

我有时候会想，“最多产”这三个字放在谢尔宾斯基身上，似乎不全是在夸他写得多。他在沙俄课堂拒说俄语时很年轻，在莫斯科造出第一个绝对正规数时正是壮年，纳粹占领期间以职员身份掩护地下教学时已近花甲，八十五岁还在讲数论研讨班。他在那些被压缩、被打压、被摧毁的缝隙里，持续不断地往外掏东西。

也许这才是他真正厉害的地方：他构建了那么多无边的、无穷的数学对象——长度无限曲线、无限镂空的三角形、任意进制都均匀分布的无穷小数——而他自己的一生，恰好是在各种有形和无形的边界中间，不断证明边界之外还有空间。



顺便提一个也许不那么广为人知的事。晚年谢尔宾斯基同时担任多本国际期刊的编委：《算术学报》（Acta Arithmetica）主编是他，《巴勒莫数学会报告》（Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo）有他，《数学合刊》（Compositio Mathematica）和《数学中央公报》（Zentralblatt für Mathematik）的编委会里也有他的名字。

他获得过的荣誉学位从利沃夫大学、阿姆斯特丹大学、索菲亚大学，一直排到莫斯科罗蒙诺索夫大学，横跨欧亚十几个国家。1959 年当选美国艺术与科学院院士，1967 年进了宗座科学院——那是梵蒂冈的机构。一个在沙俄占领区出生长大、用一生坚持波兰学术自主的人，最终被全球数学界揽入怀中。

这当然算是一种圆满。不过我想，如果让谢尔宾斯基本人评价这一切，他大概会在意另一件事：《数学基础》在战后复刊了。他化灰的那三十二卷，后来有人补齐了。他写在论文末尾的那些暗语，最终被证明不是空话。



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