倍数含量重叠规律

yangchuanju

倍数含量重叠规律
鲁思顺《倍数含量筛法与恒等式( a/b×b/a=1)的妙用》节录
2.简单比例单筛
2.1.倍数含量
在连续的n 个自然数的集合A={a}中，自然数p的倍数个数有[n/p]或[n/p+1]  ( [ ]为去尾取整) 。
定义1：A={a}中数的个数与自然数p (p≥2)的比值 ，叫做自然数p的倍数含量.在A中非p的倍数含量为n - n/p=n(1-1/p)。
易知，p的倍数含量与n成正比例关系，p的倍数个数与p的倍数含量的正负误差的绝对值小于1。
2.2.倍数含量重叠规律
引理1[1]：在A={a}里p的倍数含量中，q的部分倍数含量，也就是p的倍数的含量中的pq的倍数含量，占有1/q  (p,q≤√n ,(p,q)=1)。
证明：在A={a}里，合数pq的倍数含量为n/pq，而n/pq : n/p=1/q。证毕

yangchuanju

暂不考虑小数和误差，仅按倍数含量计算，正整数n内素数p的倍数含量是n/p，筛除之，筛余量是n-n/p=n*(1-1/p)=n*(p-1)/p；
对正整数n用素数p筛除后的剩余量中素数q的倍数含量是n*(p-1)/p*1/q，筛余量n*(p-1)/p-n*(p-1)/p*1/q=n*(p-1)/p*(q-1)/q；
对正整数n用素数pq筛除后的剩余量中素数r的倍数含量是n*(p-1)/p*(q-1)/q*1/r，筛余量n*(p-1)/p*(q-1)/q-n*(p-1)/p*(q-1)/q*1/r=n*(p-1)/p*(q-1)/q*(r-1)/r；
……恐怕也就是连乘积计算式的由来吧！
实际上用素数p对正整数n筛分时筛除掉[n/p]个p的倍数数，再用素数q对素数p筛分后的剩余数筛分筛除掉[n/q]-[n/pq]个q的倍数数。
例用2和3对38筛分，筛掉19个偶数，6个3的倍数数，剩余13个奇数；而[38/2*2/3]=[12.6667]=12，误差-1；
再用5筛分，筛掉3个5的倍数数，剩余10个奇数；而[38/2*2/3*4/5]=[10.1333]=10，误差0；
三次筛分剩余数是38-19-6-3=10，减去1，加上2,3,5，应得素数12个；实际剩余2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个素数。
而连乘积38/2*2/3=12.6667<13，38/2*2/3*4/5=10.1333>10，二筛、三筛都存在一定的误差。

正整数        38        40        42        44        46        48
2筛余        19        20        21        22        23        24
3剩余        12.67         13.33         14.00         14.67         15.33         16.00
5剩余        10.13         10.67         11.20         11.73         12.27         12.80
向下取整        10        10        11        11        12        12
减1加235        12        12        13        13        14        14
素数个数        12        12        13        14        14        15
误差        0        0        0        -1        0        -1
向上取整并调加        13        13        14        14        15        15
误差        1        1        1        0        1        0
四舍五入取整并调加        12        13        13        14        14        15
误差        0        1        0        0        0        0

不论如何取整，都存在一定的误差，当整数更大，筛分素数更多时误差会变得相当大或不可预测，
总之，倍数含量（连乘积）计算式不能准确计算出任一个正整数内的素数个数，即倍数含量不具有无限重叠规律。

yangchuanju

取一个更大的正整数30030，用素数2--173对30030进行单筛，最终求得30030以内素数个数等于3248个，倍数含量筛分最终误差11.49，各级误差见下表——                               
素数筛        筛余数        倍数含量        误差        调加
2        15015        15015        0        减1加素数2，等于不用调整
3        10010        10010        0        减1加素数2和3，等于调加1
5        8008        8008        0        2
7        6864        6864        0        3
11        6240        6240        0        4
13        5760        5760        0        5
17        5420        5421.18         1.18         6
19        5136        5135.85         -0.15         7
23        4914        4912.55         -1.45         8
29        4745        4743.16         -1.84         9
31        4590        4590.15         0.15         10
37        4459        4466.09         7.09         11
41        4341        4357.16         16.16         12
43        4228        4255.83         27.83         13
47        4126        4165.28         39.28         14
53        4037        4086.69         49.69         15
59        3956        4017.43         61.43         16
61        3878        3951.57         73.57         17
67        3809        3892.59         83.59         18
71        3745        3837.76         92.76         19
73        3684        3785.19         101.19         20
79        3629        3737.28         108.28         21
83        3578        3692.25         114.25         22
89        3532        3650.76         118.76         23
97        3492        3613.13         121.13         24
101        3454        3577.35         123.35         25
103        3418        3542.62         124.62         26
107        3385        3509.51         124.51         27
109        3354        3477.32         123.32         28
113        3326        3446.54         120.54         29
127        3304        3419.41         115.41         30
131        3284        3393.30         109.30         31
137        3268        3368.54         100.54         32
139        3253        3344.30         91.30         33
149        3240        3321.86         81.86         34
151        3229        3299.86         70.86         35
157        3221        3278.84         57.84         36
163        3215        3258.72         43.72         37
167        3211        3239.21         28.21         38
173        3209        3220.49         11.49         39
素数个数3209+39=3248，倍数含量筛分最终误差11.49。                               

yangchuanju

鲁思顺在其论文《倍数含量筛法与恒等式( a/b×b/a=1)的妙用》中仅对两个素数筛分时的倍数含量敷衍了事地“证明”了一下，就断然给出单筛具有倍数含量重叠规律，显然是荒谬的！
2.2.倍数含量重叠规律
引理1[1]：在A={a}里p的倍数含量中，q的部分倍数含量，也就是p的倍数的含量中的pq的倍数含量，占有1/q  (p,q≤√n ,(p,q)=1)。
证明：在A={a}里，合数pq的倍数含量为n/pq，而n/pq : n/p=1/q。证毕
单筛求正整数n内的素数个数不具有倍数含量重叠规律，推广到双筛求偶数2n内的素数对数就更不具有倍数含量重叠规律啦！
鲁思顺的“倍数含量”说白了就是概率，“重叠规律”就是连乘，由概率导出的连乘积计算式算不了准确的素数个数，更算不了准确的素数对数！

近期鲁思顺又不厌其烦地宣称，他即不计算素数个数，也不计算素数对数，只算“有没有”，哥猜连乘积大于1就行；
请问鲁思顺，你考虑了误差没有？连乘积计算式的三个误差到底有多大，加减上这些误差以后，连乘积计算式还始终大于1吗？

lusishun

首先，倍数含量与倍数个数是两个概念，
二，考虑误差，我考虑合数(倍数)是不是筛干净，不考虑实际的素数对与剩余的素数对的误差，只考虑，证明了，有剩余的素数对，即可。
三，整数部分，与小数布分都遵循重叠规律的。

yangchuanju

概率与倍数含量
概率——常以抛硬币或掷骰子为例，问向上抛出的一枚硬币落地后正面向上还是向下？问投掷一颗（六面分别标有1,2,3,4,5,6的）骰子落地后上面的数字是几？
当仅抛掷一次时，硬币是正面向上还是背面向上是不可预测的；同样骰子的上面是几也是不可预测的；
但当抛掷次数相当多时，硬币正面向上的次数等于总抛掷次数的1/2或接近1/2；骰子上面是1（或2，或3……或6）的次数等于总抛掷次数的1/6或接近1/6了。

素数分布几率——大于等于2的正整数可分为素数和合数两大类，给定一个正整数它是素数还是合数是确定的；
素数分布极不均匀，正整数越大素数越稀，随着正整数的增大并趋近于无穷大，素数的几率逐渐趋近于0。

倍数含量——按照鲁思顺的说法，给定正整数n内，素数p的倍数含量是n/p，p的倍数个数是[n/p]，[…]表示向下取整。
倍数含量与倍数个数是两个不同的数学概念，数值上相等或接近相等。

倍数含量重叠规律——须知倍数含量连乘积计算值一般不等于用多个素数筛分后的剩余数，单筛连乘积计算值不等于n内素数个数，双筛连乘积计算值不等于2n内哥猜素数对数；
藐视成立的重叠（连乘）随着筛分素数个数的增多，不再有实用数理价值，它与真实的素数个数、素数对数的偏差越来越大。
即便鲁思顺的2素数、3素数的倍数含量重叠规律成立，但扩展到4素数、5素数……无穷多素数联筛时倍数含量还能重叠吗？
即便能重叠，又有什么价值？

yangchuanju

鲁思顺“加强比例两筛法”计算式的实质
……筛除2 ，3&#160;&#160;的倍数时，用4/7和13/36代替原来的 2,3的倍数(含量)占有比例1/2,1/3，在筛除pi(i≥3)的倍数时，按照比例1/pi-1筛除，这种筛除方法我们称之为加强比例两筛法，简称两筛法。
易得n*(1-4/7)*(1-26/36)*(1-2/3)*(1-2/5)*(1-2/7)*…*(1-2/pi)  ( pk为小于等于√(2n)最大素数)

公认的哥猜素数对连乘积计算式是——
n/2*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*…*(p-2)/p*波动因子（双计）
或n/4*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*…*(p-2)/p*波动因子（单计）
鲁思顺使用的计算值是单计哥猜数，并略去大于等于1的波动因子不计，应使用修改后的第二式。
R1≥n/4*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*…*(p-2)/p
鲁思顺加强式最后面少算一个乘数(p-2)/p，易知当2n和p相当大并逐渐趋近于无穷大时，最后一个乘数(p-2)/p是趋近于1的，乘与不乘无实质意义；
唯鲁加强式前两个乘数(1-4/7)*(1-26/36)=0.11905，而通用式前面的乘数是1/4=0.25，
鲁加强式相当于在通用式上乘了一个系数0.11905/0.25=0.476，
（大傻给出的相关系数是0.693，比鲁加强式算出的0.476大一些。}
且由于鲁加强计算式没有计入波动因子，故鲁计算值（可能）是小于真实的哥猜素数对数的，
或给定偶数的真实哥猜素数对数（可能）大于等于鲁加强式计算值。

鲁强调说，他的计算值都大于等于1的，哥德巴赫猜想猜想已经被他证明了；但会不会有“断崖”偶数存在？鲁思顺能证明没有断崖偶数存在吗？
尚若存在“断崖偶数”，它的哥猜素数对是0，哥猜根本不成立；
尽管时至今日没有人找到哥猜数等于0的断崖偶数，但也没有人能证明或说明这样的断崖偶数是不存在的。

lusishun

打开有关倍数含量两筛法的视频，看看，听听很多人的视频分析，

yangchuanju

将公认的单计连乘积n/4*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*…*(p-2)/p*波动因子进一步修改一下
n/4*1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*…*(p-2)/p*波动因子*9/7*15/13*…*p/(p-2)
式中9/7*15/13*…p/(p-2)是一个大于1的奇合数连乘积，不计大于等于1的波动因子和大于1的奇合数连乘积，哥猜素数对计算式变成
R1≥n/4*1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*…*(p-2)/p=n/4*1/p
进一步将偶数n改为稍小一点的p^2，则有R1≥p^2/4*1/p=p/4

下一步则是误差调整，要减1或0，加0或1,2,3...p，再减误差三；对于等于1或0的误差一统统按1减掉，等于0或1,2,3...p的误差二一律不加，有正有负的误差三只考虑正误差，
哥德巴赫猜想分拆素数对计算式变成p/4-1-正误差三，只要正误差三不超过p/4-2，则哥猜素数对数R1总是大于等于1的，哥猜便得到证明。

不幸的是，我们不知道误差三到底有多大，但已经知道对应3-51万的一些偶数的正误差三已经超过了p，用上面的连舍法是不行的，我们出手不能如此大方；
另从误差三来看，它有正有负，但总平均确是等于0的，并且有不少偶数的误差三皆是0；
鉴于奇合数连乘积是一个只增不减的函数式，不应该轻易的将它舍弃，令奇合数连乘积为∏3，则有
R1≥p^2/4*1/p*∏3=p/4*∏3，进一步有p/4*∏3-1-正误差三；即便正误差三大于p，只要∏3稍大于4，p/4*∏3-1-正误差三还是会大于1的！

yangchuanju

C        C-2        ∏3
9        7        1.2857
15        13        1.4835
21        19        1.6397
25        23        1.7823
27        25        1.9248
33        31        2.0490
35        33        2.1732
39        37        2.2907
45        43        2.3972
49        47        2.4992
51        49        2.6012
55        53        2.6994
57        55        2.7976
63        61        2.8893
65        63        2.9810
69        67        3.0700
75        73        3.1541
77        75        3.2382
81        79        3.3202
87        85        3.3983
90        88        3.4755
93        91        3.5519
95        93        3.6283
99        97        3.7031
105        103        3.7750
111        109        3.8443
115        113        3.9123
117        115        3.9804
119        117        4.0484
121        119        4.1165
123        121        4.1845
125        123        4.2525
129        127        4.4225
133        131        4.4900
135        133        4.5575
141        139        4.6231
143        141        4.6887
145        143        4.7543
147        145        4.8198
153        151        4.8837
155        153        4.9475
159        157        5.0105
161        159        5.0736
165        163        5.1358
169        167        5.1973
171        169        5.2588
175        173        5.3196
177        175        5.3804
183        181        5.4399
185        183        5.4993
187        185        5.5588
189        187        5.6182
195        193        5.6764
201        199        5.7335
203        201        5.7905
205        203        5.8476
207        205        5.9046
209        207        5.9617
213        211        6.0182
215        213        6.0747
217        215        6.1312
219        217        6.1877
221        219        6.2442
225        223        6.3002
231        229        6.3553
235        233        6.4098
237        235        6.4644
243        241        6.5180
245        243        6.5717
247        245        6.6253
249        247        6.6789
253        251        6.7322
255        253        6.7854
259        257        6.8382
261        259        6.8910
265        263        6.9434
267        265        6.9958
273        271        7.0474
275        273        7.0991
279        277        7.1503
285        283        7.2008
287        285        7.2514
289        287        7.3019
291        289        7.3524
295        293        7.4026
297        295        7.4528
299        297        7.5030
301        299        7.5532
303        301        7.6034
305        303        7.6536
309        307        7.7034
315        313        7.7527
319        317        7.8016
321        319        7.8505
323        321        7.8994
325        323        7.9483
327        325        7.9972
329        327        8.0461
333        331        8.0947
335        333        8.1434
339        337        8.1917
341        339        8.2400
343        341        8.2883
345        343        8.3367
351        349        8.3845
355        353        8.4320
357        355        8.4795
361        359        8.5267
363        361        8.5739
365        363        8.6212
369        367        8.6682
371        369        8.7151
375        373        8.7619
377        375        8.8086
381        379        8.8551
385        383        8.9013
387        385        8.9476
391        389        8.9936
393        391        9.0396
395        393        9.0856
399        397        9.1313
403        401        9.1769
405        403        9.2224
407        405        9.2680
411        409        9.3133
413        411        9.3586
415        413        9.4039
417        415        9.4493
423        421        9.4941
425        423        9.5390
427        425        9.5839
429        427        9.6288
435        433        9.6733
437        435        9.7178
441        439        9.7620
445        443        9.8061
447        445        9.8502
451        449        9.8941
453        451        9.9379
455        453        9.9818
459        457        10.0255
465        463        10.0688
469        467        10.1119
471        469        10.1550
473        471        10.1982
475        473        10.2413
477        475        10.2844
481        479        10.3273
483        481        10.3703
485        483        10.4132
489        487        10.4560
493        491        10.4986
495        493        10.5412
497        495        10.5838