“每个正整数都能拆成四个平方？”拉格朗日：我来证明给你看

luyuanhong

“每个正整数都能拆成四个平方？”拉格朗日：我来证明给你看

原创  小鹿思考力  小鹿思考力  2026 年 5 月 12 日 20:01  福建

你信不信？

任何一个正整数，不管它是 1 ，7 ，31 ，还是 114514（随便举的），都能写成至多四个整数的平方和，平方数里的整数可以是正的、负的、或者零。

比如：

7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2

10 = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2

31 = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 5^2

23 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2

这就是拉格朗日四平方和定理。

我第一次听到这个定理的时候，第一反应不是“好美啊”，而是——

这不是理所当然的吗？ 四个平方欸，怎么都够了吧？

后来我随手试了试，才发现自己太天真了。

01  先别急，我们来“手撕”几个数

找出一个数的“四个平方表示”，其实没那么直觉。

比如 3 ：

3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 （允许0，刚够）

比如 7 ：

1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 = 7

我试过只用三个平方：1+1+4=6（不够），1+4+4=9（超了）

所以 7 必须四个，少一个都不行。

比如 15 ：

15 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2 = 1+4+9+1=15

也有人拆成  3^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 ，一样。

最让我意外的是 23：

1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 1+4+9+9 = 23

如果只用三个平方数：3^2+3^2+2^2=9+9+4=22（差1），怎么调都不行。

所以这个定理说的“至多四个”，是真的紧的——有些数三个真不够。

你可以随手翻一个数，大概率都能拆，但如果你非要较真“怎么拆”，这个过程其实挺上头的。

我那天晚上就因为试 31 怎么拆，多熬了半小时。

02  这不是一个人的发现，是一场跨越千年的接力

这个定理叫“拉格朗日”定理，但功劳不是他一个人的。

它像一根数学接力棒，传了近两千年。

第一棒：丢番图（约 250 年）

古希腊的“代数之父”丢番图，在他那本传奇的《算术》里，就已经暗示过类似结论。

那时候没有代数符号，他用文字写下了几个例子，像谜语一样。

第二棒：巴歇（1621 年）

法国数学家巴歇在翻译《算术》时，正式把这个猜想写了下来。

他也是数论史上“巴歇特定理”的主人公，算是这个问题的“第一个明确提出者”。

第三棒：费马（1636 年左右）

费马这个人，大家知道他的“费马大定理”——命题写一句，证明“写不下了”。

在这里他也干了同样的事：他说他证明了四平方和定理，但没留下证明。

后人只能在信里看到一句：“我证出来了，但篇幅不够。”

第四棒：欧拉（1730–1773 年）

欧拉是谁？数学史上最多产的数学家之一，晚年双目失明。

从 1730 年开始，他就被这个问题缠上了，一缠就是四十多年。

在完全看不见纸和笔的情况下，他靠心算和记忆，在 1773 年给出了一套完整的证明。

我当时读到这段历史时，真的头皮发麻。

你能想象吗？一个盲人，在脑子里推演几百步代数推导，只为给一个“谁会在意”的定理一个交代。

第五棒：拉格朗日（1770 年）

欧拉还没写完最终证明的时候，拉格朗日已经先一步完成了。

他用了一种漂亮的方法——“无穷递降法”。

简单说就是：如果一个最小的反例存在，我能用它造出一个更小的反例，矛盾。

所以没有反例，定理成立。

最后一棒：雅可比（1834 年）

雅可比把这个问题从“能不能拆”升级到了“有多少种拆法”。

他给出了一个精确公式：

n 拆成四个平方和的方式数，和 n 的因子有关。

这就从“存在性”进入了“计数”层面，更高级了。

你数一数，从丢番图到雅可比，前后 1500 多年。

一个数学结论，跨越了罗马帝国、中世纪、文艺复兴、启蒙运动……

光这一点，就值得被记住。

03  看上去像“数学游戏”，但它真的很有用

我不是故意把数学说得太玄，但我曾也和你想的一样：

“知道7能拆成四个平方，能干嘛？考试又不考。”

后来我发现，它是很多数学分支的基本功。

① 它是数学理论的“试金石”

后来数学家发明了四元数（一种能描述三维旋转的数系）、代数数论里的范数理论、甚至格点几何……

这些新理论成不成立，先拿四平方和定理来试。

如果在新理论里这个定理不成立，那说明理论有问题。

如果成立，说明这条路走得通。

② 它是更宏大问题的“第一条台阶”

四平方和定理是“华林问题”的一个特例。

华林问题是：每个正整数，能不能写成固定个数的 k 次幂之和？

比如平方（k=2）最多 4 个，立方（k=3）最多 9 个，四次幂最多 19 个……

拉格朗日这个定理，就是华林问题的第一块敲门砖。

③ 它悄悄藏在现代密码学里

你没听错，某些加密算法里，需要把一个大整数拆成平方和来做某种数据构造。

还有基于格的密码学——那是下一代抗量子计算机的加密方案——里面也会用到四平方和相关的雅可比公式。

也就是说，你未来手机里的安全支付、私密聊天，背后可能就有拉格朗日的一丢丢功劳。

④ 它还出现在物理中

计算晶体材料的能量时，需要对三维空间的格点求和。

四平方和定理告诉我们：晶格里没有“空洞”到需要超过四个平方来描述的距离。

换句话说，它保证了某些物理模型是“完整的”。

你可能会觉得牵强，但数学就是这样——

很多当时觉得“无用的游戏”，一百年后突然变成刚需。

04   数学里最迷人的结论，往往长得像废话

学完这个定理，我最受触动的不是拉格朗日的技巧，也不是欧拉的坚强。

而是——

数学里最迷人的结论，往往长得像废话。

“每个数都能拆成四个平方”

“两点之间线段最短”

“整数可以唯一分解成质数乘积”

它们太“显然”了，以至于你觉得根本不需要证明。

但历史上为了证明这些“显然”的事，人类最聪明的大脑花了上百年。

所以如果有人再问你：

“这个定理有什么用？”

你可以笑着回答：

它是用来提醒我们的——

这个世界上有一些看起来理所当然的事，其实是亿万分之一的幸运才成立的。

而数学，就是帮我们辨认这种幸运的工具。

小鹿思考力

王守恩

1, 每个正整数都能拆成四个平方数的和。—— Table[First[PowersRepresentations[n, 4, 2]], {n, 2026}]—— 譬如:  31 = {1,1,2,5}

2, 拆成三个平方数的和。这些数是不行的——7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95, 103, 111, 112, 119, 124, 127,

3, 如果允许这样拆, 三个数就可以。
\(00=0^2+1^2-1^2\)
\(01=1^2+2^2-2^2\)
\(02=1^2+1^2-0^2\)
\(03=0^2+2^2-1^2\)
\(04=2^2+1^2-1^2\)
\(05=1^2+2^2-0^2\)
\(06=3^2+1^2-2^2\)
\(07=2^2+2^2-1^2\)
\(08=4^2+1^2-3^2\)
\(09=3^2+2^2-2^2\)
\(10=5^2+1^2-4^2\)
\(11=4^2+2^2-3^2\)
\(12=6^2+1^2-5^2\)
\(13=5^2+2^2-4^2\)
\(14=7^2+1^2-6^2\)

4, 如果允许这样拆, 三个数就可以。
\(00=1^2-0^2-1^2\)
\(01=3^2-2^2-2^2\)
\(02=2^2-1^2-1^2\)
\(03=4^2-3^2-2^2\)
\(04=3^2-2^2-1^2\)
\(05=5^2-4^2-2^2\)
\(06=4^2-3^2-1^2\)
\(07=6^2-5^2-2^2\)
\(08=5^2-4^2-1^2\)
\(09=7^2-6^2-2^2\)
\(10=6^2-5^2-1^2\)
\(11=8^2-7^2-2^2\)
\(12=7^2-6^2-1^2\)
\(13=9^2-8^2-2^2\)
\(14=8^2-7^2-1^2\)

王守恩

练练手。——能把第5个数——"1"去掉吗？——去不了！！！

\(00=1^3-1^3-0^3-0^3-0^3\)
\(01=1^3-1^3-0^3-0^3+1^3\)
\(02=0^3-5^3+4^3+4^3-1^3\)
\(03=0^3-5^3+4^3+4^3-0^3\)
\(04=0^3-5^3+4^3+4^3+1^3\)
\(05=2^3+0^3-1^3-1^3-1^3\)
\(06=2^3+0^3-1^3-1^3-0^3\)
\(07=2^3+0^3-1^3-1^3+1^3\)
\(08=1^3-3^3+3^3+2^3-1^3\)
\(09=1^3-3^3+3^3+2^3-0^3\)
\(10=1^3-3^3+3^3+2^3+1^3\)
\(11=3^3+1^3-2^3-2^3-1^3\)
\(12=3^3+1^3-2^3-2^3-0^3\)
\(13=3^3+1^3-2^3-2^3+1^3\)
\(14=2^3-1^3+2^3-0^3-1^3\)
\(15=2^3-1^3+2^3-0^3-0^3\)
\(16=2^3-1^3+2^3-0^3+1^3\)
\(17=4^3+2^3-3^3-3^3-1^3\)
\(18=4^3+2^3-3^3-3^3-0^3\)
\(19=4^3+2^3-3^3-3^3+1^3\)
\(20=3^3+1^3+1^3-2^3-1^3\)
\(21=3^3+1^3+1^3-2^3-0^3\)
\(22=3^3+1^3+1^3-2^3+1^3\)
\(23=5^3+3^3-4^3-4^3-1^3\)
\(24=5^3+3^3-4^3-4^3-0^3\)
\(25=5^3+3^3-4^3-4^3+1^3\)
\(26=4^3+3^3-0^3-4^3-1^3\)
\(27=4^3+3^3-0^3-4^3-0^3\)
\(28=4^3+3^3-0^3-4^3+1^3\)
\(29=6^3+4^3-5^3-5^3-1^3\)
\(30=6^3+4^3-5^3-5^3-0^3\)
\(31=6^3+4^3-5^3-5^3+1^3\)
\(32=5^3+5^3-1^3-6^3-1^3\)
\(33=5^3+5^3-1^3-6^3-0^3\)
\(34=5^3+5^3-1^3-6^3-1^3\)
\(35=7^3+5^3-6^3-6^3-1^3\)
\(36=7^3+5^3-6^3-6^3-0^3\)
\(37=7^3+5^3-6^3-6^3+1^3\)
\(38=6^3+7^3-2^3-8^3-1^3\)
\(39=6^3+7^3-2^3-8^3-0^3\)
\(40=6^3+7^3-2^3-8^3+1^3\)
\(41=8^3+6^3-7^3-7^3-1^3\)
\(42=8^3+6^3-7^3-7^3-0^3\)
\(43=8^3+6^3-7^3-7^3+1^3\)

Table[With[{m = Quotient[n + 1, 6], r = Mod[n, 6]}, If[r < 2 || r == 5, {n, m + 1, m - 1, m, m, If[r == 5, -1, r]}, {n, m, 2 m - 5, m - 4, 2 m - 4, r - 3}]], {n, 0, 2026}]

王守恩

来道题——2026——怎么填？——你会了吗？
\(00=1^3-1^3-0^3-0^3+0^3\)
\(01=1^3-1^3-0^3-0^3+1^3\)
\(02=0^3-2^3+1^3+1^3+2^3\)
\(03=3^3-5^3+4^3+4^3-3^3\)
\(04=3^3+1^3-2^3-2^3-2^3\)
\(05=2^3+0^3-1^3-1^3-1^3\)
\(06=2^3+0^3-1^3-1^3+0^3\)
\(07=2^3+0^3-1^3-1^3+1^3\)
\(08=1^3-1^3-0^3-0^3+2^3\)
\(09=3^3-4^3+3^3+3^3-2^3\)
\(10=4^3+2^3-3^3-3^3-2^3\)
\(11=3^3+1^3-2^3-2^3-1^3\)
\(12=3^3+1^3-2^3-2^3+0^3\)
\(13=3^3+1^3-2^3-2^3+1^3\)
\(14=2^3+0^3-1^3-1^3+2^3\)
\(15=3^3-3^3+2^3+2^3-1^3\)
\(16=5^3+3^3-4^3-4^3-2^3\)
\(17=4^3+2^3-3^3-3^3-1^3\)
\(18=4^3+2^3-3^3-3^3-0^3\)
\(19=4^3+2^3-3^3-3^3+1^3\)
\(20=3^3+1^3-2^3-2^3+2^3\)
\(21=0^3-2^3+1^3+1^3+3^3\)
\(22=6^3+4^3-5^3-5^3-2^3\)
\(23=5^3+3^3-4^3-4^3-1^3\)
\(24=5^3+3^3-4^3-4^3-0^3\)
\(25=5^3+3^3-4^3-4^3+1^3\)
\(26=4^3+2^3-3^3-3^3+2^3\)
\(27=1^3-1^3-0^3-0^3+3^3\)
\(28=7^3+5^3-6^3-6^3-2^3\)
\(29=6^3+4^3-5^3-5^3-1^3\)
\(30=6^3+4^3-5^3-5^3-0^3\)
\(31=6^3+4^3-5^3-5^3+1^3\)
\(32=5^3+3^3-4^3-4^3+2^3\)
\(33=2^3+0^3-1^3-1^3+3^3\)
\(34=8^3+6^3-7^3-7^3-2^3\)
\(35=7^3+5^3-6^3-6^3-1^3\)
\(36=7^3+5^3-6^3-6^3-0^3\)
\(37=7^3+5^3-6^3-6^3+1^3\)
\(38=6^3+4^3-5^3-5^3+2^3\)
\(39=3^3+1^3-2^3-2^3+3^3\)
\(40=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3\)
\(41=8^3+6^3-7^3-7^3-1^3\)
\(42=8^3+6^3-7^3-7^3-0^3\)
\(43=8^3+6^3-7^3-7^3+1^3\)
\(44=7^3+5^3-6^3-6^3+2^3\)
\(45=4^3+2^3-3^3-3^3+3^3\)

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