梅涅劳斯 Menelaus——球面三角学的奠基人

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梅涅劳斯 Menelaus——球面三角学的奠基人

原创  老唐学数学  2026 年 5 月 15 日 07:29  广东

摘要

亚历山大里亚的梅涅劳斯（约公元 70 — 130 年）是晚期希腊几何学家，以创立球面三角学及“梅涅劳斯定理”闻名。他曾在罗马进行天文观测（公元 98 年），并参与了反射定律的讨论。其唯一幸存著作《球面学》首次严格定义了球面三角形，将平面几何的欧几里得方法推广至球面，为天文学计算奠定了数学基础。

核心定理：平面梅涅劳斯定理表述为：一条截线交三角形三边（或延长线）于三点，则三组有向线段比值的乘积为 -1 ；逆定理亦真。梅涅劳斯将其推广至球面大圆弧，成为球面三角学的基石。

学术贡献：他改进并扩展了前辈忒奥多西奥斯的球面几何，避免使用反证法，提供更直接的证明。他还著有《几何原本》《论三角形》等，涉及力学、倍立方问题及比重分析。

梅涅劳斯的工作连接了希腊几何与阿拉伯科学，月球上的“梅涅劳斯陨石坑”以他命名，其定理至今仍是射影几何与三角学的核心工具。

亚历山大里亚的梅涅劳斯 Menelaus of Alexandria

基本信息速览 Quick Info

● 出生： 约公元 70 年，（可能在）埃及亚历山大里亚

● 逝世： 约公元 130 年

人物小传 Summary

梅涅劳斯 是晚期希腊几何学家之一，他将球面几何应用于天文学。他最著名的是所谓的梅涅劳斯定理。

传记 Biography

尽管我们对亚历山大里亚的梅涅劳斯的生平知之甚少，但托勒密记录了梅涅劳斯于公元 98 年 1 月 14 日在罗马进行的天文观测。这些观测包括月球遮掩心宿二（天蝎座 β 星）的现象。

他还出现在普鲁塔克的一部著作中，其中描述了梅涅劳斯与卢修斯之间的一段对话，卢修斯为自己曾怀疑光的反射遵循入射角等于反射角这一事实而向梅涅劳斯道歉。卢修斯说（例如见[1]）：

在你面前，亲爱的梅涅劳斯，我很惭愧去反驳一个数学命题，它可以说是反射光学学科所依赖的基础。然而，必须说，“所有反射都以相等角度发生”这个命题既不是自明的，也不是公认的事实。

这段对话据信发生在罗马，很可能是在公元 75 年之后很久。确实，如果我们猜测梅涅劳斯出生于公元 70 年接近正确的话，那么这一定是在公元 75 年之后的许多年。

关于梅涅劳斯的生平，除了帕普斯和普罗克洛斯都称他为亚历山大里亚的梅涅劳斯之外，我们知之甚少。我们只能推断，他曾在罗马和亚历山大里亚两地都待过一段时间，但最可能的情况是，他年轻时（可能出生在那里）住在亚历山大里亚，后来移居罗马。

一份 10 世纪编纂的阿拉伯数学家名录中这样记载梅涅劳斯（见[1]）：

他生活在托勒密之前，因为后者曾提及他。他撰写了：《球面命题书》、《论不同物体的重量和分布》……《几何原本》三卷（由萨比特·伊本·库拉编辑），以及《论三角形》。其中一些已被译成阿拉伯文。

在梅涅劳斯的众多著作中，只有《球面学》幸存下来。它论述了球面三角形及其在天文学中的应用。他是第一个写出球面三角形定义的人，在第一卷开头给出了定义：

球面三角形是由球面上的大圆弧所围成的空间……这些弧始终小于半圆。

在《球面学》第一卷中，他建立了处理球面三角形的基础，就像欧几里得处理平面三角形一样。他使用大圆弧而非球面上的平行圆弧。这标志着球面三角学发展的一个转折点。然而，梅涅劳斯似乎对欧几里得常用的反证法证明方式感到不满。梅涅劳斯避免使用这种证明定理的方式，因此，对于某些定理，他用完全不同的方法给出了证明，而欧几里得的证明本可以很容易地适用于球面三角形的情况。

同样值得评论的是，希思在文献[3]中指出：

在某些方面，他的处理比欧几里得对类似平面情况的处理更完整。

第二卷将球面几何应用于天文学。它在很大程度上遵循了忒奥多西奥斯在《球面几何》中给出的命题，但梅涅劳斯给出了相当好的证明。

第三卷论述球面三角学，并包含梅涅劳斯定理。对于平面三角形，该定理在梅涅劳斯之前就已为人所知：

……如果一条直线穿过三角形的三条边（其中一条边延伸至三角形顶点之外），那么由此形成的三个不相邻的线段的乘积等于三角形其余三个线段的乘积。

梅涅劳斯将此定理推广到了球面三角形，该定理今天也称为梅涅劳斯定理，它作为第三卷的第一个命题出现。该陈述是用球面上相交的大圆来表述的。

阿拉伯人对梅涅劳斯的《球面学》做了许多翻译和评注。其中一些幸存下来，但彼此差异很大，使得准确重构原文相当困难。另一方面，我们确实知道有些作品是对早期评注的评注，因此很容易理解原文是如何被模糊的。关于这些阿拉伯文译本的详细讨论见文献[6]、[9]和[10]。

还有其他一些梅涅劳斯的著作被阿拉伯学者提及，但无论是希腊文原文还是阿拉伯文译本都已失传。我们上面引用了 10 世纪阿拉伯名录的记载，其中提到一本名为《几何原本》的书，共三卷，由萨比特·伊本·库拉译成阿拉伯文。它还记载了梅涅劳斯的另一部著作，名为《论三角形》，虽然该书未幸存，但已发现了阿拉伯文译本的残篇。

普罗克洛斯提到了梅涅劳斯的一个几何结果，该结果未出现在幸存的作品中，据认为它必定来自上述提到的某个文本。这是对欧几里得《几何原本》中一个定理的直接证明，鉴于梅涅劳斯在其幸存作品中对反证法的厌恶，这似乎是他顺理成章的做法。普罗克洛斯归功于梅涅劳斯的这个新证明，是针对如下定理的（采用希思对欧几里得的翻译）：

如果两个三角形有两条边分别相等，但其中一个的底边大于另一个的底边，那么它也必有较大的夹角，该夹角由第一条三角形的相等边所夹。

另一份阿拉伯文献提到梅涅劳斯时指出，他的《几何原本》包含了阿尔希塔斯对倍立方问题的解法。保罗·坦纳里在文献[8]中论证，这使得帕普斯声称梅涅劳斯详细讨论过的一条曲线很可能是维维亚尼的双曲率曲线。布尔默-托马斯在文献[1]中评论道：

这是一个有吸引力的猜想，但根据现有证据无法证明。

许多阿拉伯学者认为梅涅劳斯写过一部关于力学的著作。据称，该文本研究了阿基米德研究过的平衡以及梅涅劳斯自己设计的平衡。特别是，梅涅劳斯对比重和合金分析感兴趣。

梅涅劳斯定理



如果一条直线与三角形的边 BC 、CA 和 AB 分别相交于点 P 、Q 和 R ，那么以下比值的乘积等于 -1 ：

(BP/PC) × (CQ/QA) × (AR/RB) = -1

反之，如果点 P 、Q 、R 位于三角形的三条边上，且该比值的乘积等于 -1 ，则这三点共线。

参考文献 References

1. I·布尔默-托马斯，《科学传记词典》中的传记（纽约，1970-1990）。

2. 《不列颠百科全书》中的传记。http://www.britannica.com/biography/Menelaus-of-Alexandria

3. T·L·希思，《希腊数学史》（两卷）（牛津，1921 年）。

4. O·诺伊格鲍尔，《古代数理天文学史》（纽约，1975 年）。

5. M·F·艾因塔比，《阿拉伯的科学进步与亚历山大里亚的梅涅劳斯》，载于《第十二届国际科学史大会论文集，巴黎，1968 年》第三卷（巴黎，1971 年），第 7-12 页。

6. M·克劳泽，《亚历山大里亚的梅涅劳斯的球面学》，《哥廷根科学院学报》17 (1936)。

7. O·施密特，《论托勒密和梅涅劳斯的定理》（丹麦语），《北欧数学杂志》3 (1955)，第 81-95 、127 页。

8. P·坦纳里，《古代曲线和曲面史考》，《数学科学通报》7 (1883)，第 289-292 页。

9. G·尤素波娃，《图西和亚兹迪对梅涅劳斯〈球面学〉的评注》（俄语），《苏联科学院消息报，物理-数学系列》(6) (1990)，第 40-43 、80 页。

10. G·尤素波娃，《亚历山大里亚的梅涅劳斯〈球面学〉的两部中世纪阿拉伯文版本》，《数学史》22 (1) (1995)，第 64-66 页。

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