D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

Ysu2008

（要求纯几何证明）

王守恩

添条线——DE, E在BC上, \(BE=BD=\sin80^\circ,DE=\sin20^\circ,CE=AD=\frac{\sin(80^\circ)\sin(20^\circ)}{\sin(40^\circ+C)}\)

正弦定理。\(\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(C)}=\frac{\sin(80^\circ)\sin(20^\circ)/\sin(40^\circ+C)}{\sin(80^\circ-C)}\)

整理：\(\frac{\sin(80^\circ)}{\sin(40^\circ+C)}=\frac{\sin(80^\circ-C)}{\sin(C)},\ C=40^\circ\)——瞪眼

liangchuxu

D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

Ysu2008

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

帅哥，\(\angle AGC=80^{\circ}-\theta+\angle C=60^{\circ}+\theta=\angle AGB\) 这步没看明白怎么来的，能否再说细一点？

王守恩

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

谢谢 liangchuxu！有这个图就简单了！——求角度用万能公式——只要你胆子够大可以把“sin”去掉！

\(1=\frac{\sin∠DBA\sin∠DCB\sin∠DEC\sin∠DAE}{\sin∠DBC\sin∠DCE\sin∠DEA\sin∠DAB}=\frac{\sin(20^\circ)\sin(C)\sin(80^\circ)\sin(10^\circ+C/2)}{\sin(20^\circ)\sin(80^\circ-C)\sin(10^\circ+C/2)\sin(40^\circ+C)}=\frac{\sin(C)\sin(80^\circ)}{\sin(80^\circ-C)\sin(40^\circ+C)}\ \ \ C=40^\circ\)——瞪眼

前面的过程——“搜索”是不会有的。就是到最后一步“软件”也计算不了——必须大胆——瞪眼

1. Solve[{1 == (Sin[C \[Pi]/180] Sin[80 \[Pi]/180])/(Sin[(80 - C) \[Pi]/180] Sin[(40 + C) \[Pi]/180]), 60 > C > 0}, {C}] // FullSimplify // ToRadicals

复制代码

{{C -> (360 ArcTan[Root[{Sec[Rational[1, 18] Pi] ((-8) Sin[Rational[2, 9] Pi] # (-1 + #^2) + (1 + #^2) (1 - 8 Cos[Rational[1, 18] Pi] # + #^2)
+ 2 Cos[Rational[2, 9] Pi] (1 - 6 #^2 + #^4))& , 0.36397023426620234154427180328639224172`15.640594375001886}]])\/\[Pi]}}