如何求解随机微分方程？

coolboy

流动可以是以湍流的形态出现，描述湍流以及相关的一些现象通常会用随机变量或及随机函数。当一个微分方程以及它的初边条件出现随机变量时，我们就称之为随机微分方程。以前曾遇到过求解随机微分方程的具体特例。现在突然意识到那些特例应该就是求解任何随机微分方程的一般性方法的特殊处理而已。所以，也就突然冒出了现在的问题：一般情况下，如何求解随机微分方程？

大家先想想看，一般的求解步骤恰恰是应该比那些特殊的处理方法思路上要简单！

（待续）

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再解释一下，只有微分方程中的系数或方程的初边条件中出现随机变量时，我们才称之为随机微分方程。当然，这时方程的解也是随机变量。例如，研究湍流运动的的世界名著中（Monin and Yaglom，1971，1975），作者运用了大量的概率统计学来研究解的随机、统计特性，但对纳维－斯托克斯方程本身，包括其（系宗或即集合）平均方程或扰动方程，都是作为确定性方程进行求解的。在Monin and Yaglom的专著中，作者也求解了随机微风方程，但那不是纳维－斯托克斯方程。又例如，在Monin和Yaglom专著的最后一章(第十章)曾讨论到求解纳维－斯托克斯方程解的特征函数的方程的问题。若知道了某一随机过程的分布函数，则也就知道了该随机过程的所有特性。此外，若知道了某一随机过程的特征函数，则也就知道了它的分布函数(这是因为特征函数是分布密度函数的傅立叶变换)。在一定条件下，这描述湍流随机过程的特征函数的方程刚好与量子力学中的薛定谔方程(表示)相类似。在此，求解纳维－斯托克斯方程解的特征函数的方程确实是把原方程及其解看作是随机过程，但那特征函数及其方程却还是确定性函数和方程。

既然是微分方程，那就必然包含微分项。一说到“微分”，自然也会涉及到函数的连续性、可微性等一大串问题。随机变量由于其不确定性是无法在传统意义上定义“微分”的。所以这里所说的随机微分方程其实是从原始的确定性方程演化而来的。一个描述某物理过程的确定性方程由于方程中的系数和方程的初边条件变成了不确定的随机变量或随机函数，此时，方程的解也必然是随机函数。该如何求解此类方程？

现在我们回到正题：一般情况下，如何求解随机微分方程？

References:
Monin, A. S., and A. M. Yaglom, 1971: Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 1. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 769 pp.
Monin, A. S., and A. M. Yaglom, 1975: Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 2. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 874 pp.

（待续）