3X+1猜想

朱明君

3X+1猜想
①，n（奇数）
2^（n+1）N+（5（2^（n+1）-1）/3
②，n（偶数）
2^（n+1）N+（2^n-1）/3

n=1，4N+3→6N+5
n=2，8N+1→6N+1
n=3，16N+13→6N+5
n=4，32N+5→6N+1
n=5，64N+53→6N+5
n=6，128N+21→6N+1
n=7，256N+213→6N+5
n=8，512N+85→6N+1
n=9，1024N+853→6N+5
n=10，2048N+341→6N+1
…。

朱明君

3X+1猜想
①，n（奇数）
2^（n+1）N+（5×2^n-1）/3
②，n（偶数）
2^（n+1）N+（2^n-1）/3

n=1，4N+3→6N+5
n=2，8N+1→6N+1
n=3，16N+13→6N+5
n=4，32N+5→6N+1
n=5，64N+53→6N+5
n=6，128N+21→6N+1
n=7，256N+213→6N+5
n=8，512N+85→6N+1
n=9，1024N+853→6N+5
n=10，2048N+341→6N+1
…。

奇数按模6分为三类，
一，6N-3，正运算起始数，逆运算终止数
二，6N±1，双向数，
三，1，正运算终止数，逆运算起始数，

N是奇数，下一步升
N是偶数，下一步降

正运算，6N-3→6N±1→1
运运算，1→6N±1→6N-3

除1外，不存在其他正奇数循环

模4，
4N-1，下一步升
4N+1，下一步降，
概率奇数升降各占一半

n=1，升1个
n≥2，降无穷个
升<降
所以3X+1猜想中，所有奇数都会趋向一

朱明君

3x+1猜想运算法则：就是将x(奇数)×3+1变换成\(2^n\times x_2\)
\(即\frac{x\times3+1}{2^n\times x_2}=1，若x_2是大于1的奇数，则x_2\times3+1继续变换，每变换一次为1奇步，直到x_n为1，\)
\(设x为奇数，n为正整数，\)
\(则\frac{x\times3+1}{2^n\times x_2}\times\frac{x_2\times3+1}{2^{n_2}\times x_3}\times\cdots\times\frac{x_n\times3+1}{2^{n_n}\times1}=1，\)
\(实例，x=11,\)
\(\frac{11\times3+1}{2\times17}\times\frac{17\times3+1}{2^2\times13}\times\frac{13\times3+1}{2^3\times5}\times\frac{5\times3+1}{2^4}=1，\ \ \)

3X+1猜想完整推导
一、通项生成式
①奇数通项：2^(n+1)N+(5×2^n-1)/3
②偶数通项：2^(n+1)N+(2^n-1)/3

n=1，4N+3→6N+5
n=2，8N+1→6N+1
n=3，16N+13→6N+5
n=4，32N+5→6N+1
n=5，64N+53→6N+5
n=6，128N+21→6N+1
n=7，256N+213→6N+5
n=8，512N+85→6N+1
n=9，1024N+853→6N+5
n=10，2048N+341→6N+1

6N+5，6N+1
N奇数，下一步升
N偶数，下一步降

二、奇数模6三类划分
一，6N-3，正运算起始数，逆运算终止数
二，6N±1，双向数
三，1，正运算终止数，逆运算起始数

6N-3，6N±1，
N奇数，下一步升
N偶数，下一步降

正运算链路：6N-3→6N±1→1
逆运算链路：1→6N±1→6N-3
除1以外，无其他正奇数闭环循环

三、模4升降判定
4N-1，下一步升
4N+1，下一步降
全体奇数升降出现概率各占一半

四、整体趋势论证
n=1，仅有限上升路径
n≥2，存在无穷多下降路径
上升总量小于下降总量，迭代整体持续下行

五、结论
全部奇数经过3X+1迭代持续回落，最终全部趋向于1


3x+1猜想奇数归1同层次的数算法
\(设X为任意奇数，X_n为奇数同层次的数，则(((X\times4+1)\times4+1)\times\cdots\times4+1)=X_n。\)
注:1个奇数经3x+1正运算得到归1的步数，那么它同层次的数归1也是相同的步数。
实例一，
\(1{,}\ \ \frac{1\times3+1}{2^2}=1{,}\ \ \ 一步归1的数，\)
根据奇数归1同层次的数算法，则同层次的数有1，5，21，85，…。都是1步归1 的数。
实例二，
\(3，\frac{3\times3+1}{2\times5}\longrightarrow\frac{5\times3+1}{2^4}=1，\ \ 二步归1的数，\)
根据奇数归1同层次的数算法，则同层次的数有3，13，53，213，…。都是2步归1 的数。
实例三，
\(7，\frac{7\times3+1}{2\times11}\to\frac{11\times3+1}{2\times17}\to\frac{17\times3+1}{2^2\times13}\to\frac{13\times3+1}{2^3\times5}\to\frac{5\times3+1}{2^4}=1，\ \ 五步归1的数，\)
根据奇数归1同层次的数算法，则同层次的数有7，29，117，469，…。都是5步归1 的数。
……。