一个困住数学家三十年的凸性猜想，以及 AI 意外推的那一把 ——塔拉格朗凸性猜想

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一个困住数学家三十年的凸性猜想，以及 AI 意外推的那一把 ——塔拉格朗凸性猜想

原创  小鹿思考力  小鹿思考力  2026 年 6 月 18 日 06:00  福建

01  一个看起来像“废话”的问题

1995 年，法国数学家米歇尔·塔拉格朗坐在办公室里，写下了一个问题。

这个问题如果翻译成日常语言，听起来甚至有点像废话：

在高维空间里，给你一个不太规则的集合。你把它和它自己不断地“加在一起”，会不会总有一天，它一定会变成一个没有凹陷的凸体？

你可能会说：那当然啊，揉面嘛，越揉越圆。

但数学家不会满足于“当然”。他们要问的是：

● 这个“总有一天”，到底是第几次？

● 这个次数，能不能不依赖于空间的维度？

● 不管你在三维、五维还是十万维里，这个次数都一样？

塔拉格朗猜测：存在这样一个固定的整数 k 。

他很快证明了两件事：k=1 不行，k=2 也不行。

这个问题像一块巨石，卡在了高维几何、概率论和最优运输的交界处。三十一年里，无数人路过它，摇摇头，走开了。

02  为什么这个问题这么讨厌？

要理解这个问题的难度，得先明白“闵可夫斯基和”是什么意思。

简单说，如果你有两个集合 A 和 B ，它们的闵可夫斯基和就是“A 中的每一个点，加上 B 中的每一个点”得到的所有新点的集合。

听起来是不是很抽象？那我们可以举个例子：

● 如果你有一个三角形，和它自己做一次闵可夫斯基和，你会得到一个六边形。

● 再做一次，会更接近一个圆。

所以直觉上，反复做闵可夫斯基和，确实会让集合变得越来越“胖”、越来越“圆”。

但问题是：需要多少次，才能保证它一定变成凸体？

塔拉格朗本人证明了两次不够。他构造了一个反例——一个在某种意义下“很瘦”的集合，两次闵可夫斯基和之后，仍然不是凸的。

2025 年，又有人尝试了另一种思路：我不做闵可夫斯基和了，我直接取它的凸包（也就是填平所有凹陷）。结果也不行。

这下所有人都明白了：这个 k ，至少得大于 2 。

但到底是多少？3 ？4 ？100 ？还是根本不存在？

没有人知道。

03  转折点：换一个角度看世界

2026 年初，一个叫 Antoine Song 的学者做了一件极其聪明的事。

他没有直接去啃原来的几何问题，而是问了一个看似不相干的问题：

这个几何问题，能不能翻译成概率论的语言？

结果他发现：可以，而且完全等价。

翻译之后的样子是这样的：

任意一个“中心化的 1-亚高斯随机向量”（别怕这个名字，你就理解成“一个不算太疯狂的随机分布”），能不能拆成有限个独立的标准高斯向量的和？

几何里的“揉面团”，变成了概率里的“拆高斯”。

这个转化太漂亮了。因为概率论里有大量现成的工具——最优运输、信息论、鞅论——这些在原来的几何世界里根本用不上。

就好比你在一间黑屋子里找钥匙，找了三十年没找到。然后有人突然拉开了窗帘。

04  三个人，三次高斯

接下来，接力棒到了三个人手里：华东明、Antoine Song（就是刚刚那个拉开窗帘的人）和 Stefan Tudose 。

他们需要回答的问题，现在变成了：

到底需要几个高斯向量，才能表示出任意一个“还算温和”的随机向量？

他们尝试了 1 个——不行。2 个——也不行。

然后他们试了 3 个。

成功了。

他们证明了：任意一个中心化的 1-亚高斯随机向量，一定能写成三个独立标准高斯向量的和。

再次看向原来的几何世界，这句话翻译过来就是：

揉三下，面团一定变圆。

k=3 。

不是 4 ，不是 100 ，就是 3 。

这个数字干净得让人想鼓掌。

05  他们到底是怎么证明的？

我尽量不让你头疼，但这个故事值得你大概知道他们是怎么走完最后这段路的。

第一步：凸序控制

他们先借用了另一个数学家 van Handel 的定理，把那些“不听话”的随机向量框在一个可控的范围里。就像先把野马赶进围栏。

第二步：离散化

连续分布太复杂，不好直接处理。他们证明了一件事：只要能把离散的、有限支撑的分布搞定，那一般分布也就自动搞定了。这叫“先打一个小仗，再打大仗”。

第三步：鞅耦合（这里 AI 出现了）

这是整个证明最核心的构造。他们需要设计一种特殊的随机过程，让两个分布一步一步地“走到一起”。

论文附录里记录了一件很有意思的事：这个构造的第一个、比较弱的版本，是第一作者用 ChatGPT-5.5 Pro 生成的。

是的，一个大语言模型。

这个 AI 生成的版本只能解决部分限定条件下的问题，不够通用。但它提供了一个起点—— 一个人类可能不会第一时间想到的构造方向。

后来第三作者独立推导出了更通用、更简洁的完整证明。团队最终选用了人类的那个版本。但论文里老老实实地写明了 AI 的贡献。

第四步：高斯分解

最后一步，他们用了一个经典的定理（Caffarelli 收缩定理），证明了满足条件的分布一定可以拆成两个高斯向量的和。再加上前面的构造，整体就是三个。

离散的解决了，连续的自然也就解决了。

刚好闭环。

06  那个最让人意外的配角

这篇论文在 2026 年发表之后，引起轰动的不仅是结果本身，还有一个细节：

附录里写了 ChatGPT 的名字。

这不是那种“AI 写了一篇论文然后被撤稿”的故事。恰恰相反，这是一次非常坦诚、非常克制的学术记录：

● AI 提供了一个启发式的初步构造。

● 这个构造不够完美，但指明了方向。

● 人类数学家在此基础上，完成了完整的、普适的证明。

● 论文明确标注了 AI 的贡献。

他们自己总结说：

AI 可以给出一个不错的起点，但深度、普适性的数学论证，仍然依赖人类学者。

其实就是 AI 能帮你扔出第一块石头，但能不能过河，还得看人。

这件事的意义，可能比猜想本身更深远。因为这是第一次，在一个真正困难的、前沿的数学问题上，AI 以一种“可以被论文正经引用”的方式，出现在了致谢之外的、方法论的位置。

07  这个告诉我们什么

第一，数学有时候很倔。一个听起来像常识的问题——“揉多了总会圆的”——花了三十一年才被严格证明。而且中间还经历了“2 不行”“凸包也不行”的反复打击。

第二，换一个角度看问题，有时候比死磕更重要。Song 把几何变成概率，整个局面就活了。这提醒我们：当你卡住的时候，不要只盯着眼前的那堵墙，问问自己——这个问题，还能翻译成什么？

第三，AI 在科研中的角色正在悄然变化。不是取代人类，也不是写那种“看起来像模像样但其实是胡说八道”的论文。而是作为一个不知疲倦的、愿意瞎试的、不怕被骂的助手。它偶尔会给你一个你从来没想过的起点。

第四，这个结果本身有一种数学上的美感。三个高斯，足够了。 不多不少。

就像三原色可以调出所有颜色，三脚架可以稳住一个相机，三个高斯向量可以搭出任意一个还算规矩的随机分布。

08  尾声

塔拉格朗提出这个猜想的时候，大概是不会想到——三十一年后，证明它的论文里会写上一个 AI 的名字。

他也不会想到，那个看起来很遥远的 k ，最后就是一个小小的、圆圆的 3 。

数学有时候就是这样：你等了很多年，答案就在那里，不远不近。

小鹿思考力