为不确定世界谱曲的人：伊藤清和他的随机微积分

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为不确定世界谱曲的人：伊藤清和他的随机微积分

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 5 月 24 日 11:14  广东


伊藤清

你有没有过这样的瞬间？站在十字路口，感觉自己像一片被风吹动的叶子，下一刻往左还是往右，似乎全凭运气。打开手机，股票K线图像心脏骤停后的心电图；天气预报说降水概率 50% ，你抬头看天，不知道到底该不该带伞。

我们管这叫“随机”，并常常为此焦虑。但你可能不知道，这种看似完全失控的随机性，背后藏着比我们直觉更深刻的秩序。而这种秩序，来自一个日本数学家，在二战隆隆的炮火声中，于东京的一间斗室里，独自推演出的音符。他叫伊藤清（Kiyosi Ito）。

2008 年 11 月 10 日，这位 93 岁的老人在京都一家医院里安静地离开。去世前仅仅一周，他刚刚收到日本天皇颁发的文化勋章——这个国家最高的荣誉。

今天，从华尔街的量化交易员到试图预测气候变化的物理学家，几乎所有人都在“演奏”他谱写的乐章。诺贝尔经济学奖得主罗伯特·默顿（Robert C. Merton）曾说，伊藤的模型在他研究股票价格演变和后来开发期权定价理论时，是“一件非常有用的工具”——而那个理论，现在正日夜不息地运转在华尔街的每一块屏幕上。


罗伯特·默顿

但说起来，这位后来被日本数学界私下尊称为“天皇”的人，最初拿到的，只是一串大家都不愿意多看一眼的、晦涩难懂的“乐谱”。

概率论曾经像个没人管的野孩子

20 世纪 30 年代，在东京帝国大学的校园里，学生伊藤清正被一种奇怪的“不满足感”困扰着。他 1915 年 9 月 7 日出生在本州岛三重县北势町的一个农耕小镇，一路以优异成绩考进这所精英学府。那个年代，微积分体系早已因实数定义的完备而固若金汤，是数学殿堂里最宏伟的建筑。

但概率论呢？尽管它能解释为什么抛一万次硬币正面朝上的次数会接近一半，在大多数正统数学家眼里，它仍旧像个不入流的旁门左道，缺乏一套能拿得出手的、像微积分那样严谨的逻辑地基。

伊藤清自己描述过这种不满。他感到，虽然概率论号称能描述随机现象，但它的细胞核——那个叫“随机变量”的基本东西——竟然没有一个清晰的定义。这就像你要建造一座摩天大楼，却发现手里连砖块的规格都没有统一。

1938 年他大学毕业时，概率论根本不是一个发育完善的数学学科。用现代数学工具来驯服随机性的决定性一步，才刚刚由苏联的柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）在 1933 年迈出。在俄国学派之外，全世界范围内活跃在这个领域里的一流数学家，寥寥无几。能称得上先驱的，或许只有法国的保罗·莱维（Paul Levy）和美国的杜布（Joseph Doob）。


柯尔莫哥洛夫

柯尔莫哥洛夫拿出了一套公理化的概率论基础，而莱维，这位天才则像个在未知大陆上横冲直撞的探险家，凭借自己无与伦比的直觉，不断抛出关于随机过程的各种深刻洞见，如他提出的莱维飞行（Lévy flight）般天马行空。但问题恰恰出在这里：莱维的思想太超前，也太依赖他那旁人难以捉摸的直觉了。对那个时代的大多数学者来说，读莱维的论文，大概就像看一个魔术师凭空变出鸽子——你惊叹于结果的神奇，却完全无法理解他袖子里到底藏了什么机关。它们被认为是“极端困难”的，很多人甚至连读懂都费劲。


莱维飞行

在炮火声中，他决定给随机性装上逻辑的龙骨

1938 年，伊藤清从东京大学毕业，随后被任命到内阁统计局工作。这看起来像是一份安稳的公职，但命运在此刻给了他一个意想不到的礼物。统计局当时的局长川岛，是位极开明的长官，特别关照这个年轻人，给了他大把的“自由时间”。伊藤清后来自己回忆说，正是这五年的“特殊照顾”，让他得以沉潜。

在这份“清闲”里，伊藤清做了什么？他决定去做一件在旁人看来几乎不可能完成的任务：用柯尔莫哥洛夫那种精确到无懈可击的逻辑，去重新翻译和描述莱维那些天马行空般的直觉。换句话说，他要给莱维那艘能在未知海域乘风破浪的船，安上一具用精密逻辑打造的龙骨。

这是一场孤独的远征。他引入杜布的“正则化”概念作为工具，在无数次尝试和推演后，终于在 1942 年拿出了他的第一篇重磅论文《论随机过程》。这篇发表在日本数学杂志上的文章，干了一件石破天惊的事情：从零开始，重新构建了“随机积分”的概念，并以此创立了“随机微分方程”理论。


伊藤清

你可能会想，这个听上去拗口的理论，到底是用来干嘛的？我们可以把它理解成一套全新的“动力学语言”。牛顿和莱布尼茨在 17 世纪发明了微积分，用来精准描述苹果为什么会落地、行星为什么会绕太阳转——这些由确定性规律主宰的运动。这是整个科学史上最强大的单项技术。

而伊藤清做的事情，是把这套威力无穷的微积分体系，硬生生地拓展到了包含随机过程的领域。那种我们熟悉的牛顿-莱布尼茨形式体系，被他加入了全新的项——后来被称为“伊藤修正项”的东西——这些项在描述随机运动时，被证明至关重要。我们今天所说的“伊藤引理”，本质上就是他把普通微积分中的链式法则，推广到了一个随机世界里的版本。它描述的，是花粉颗粒在水中被水分子撞得东倒西歪的“布朗运动”，或者股价在外界无数信息冲击下的上下翻飞——这些都是被随机性驱动的运动。



但他在做这一切时，历史正处在一个异常残酷的时刻。1942 年到 1945 年，日本在二战中陷入最疯狂也最艰难的时期。图书馆资源匮乏，与西方的学术联系完全中断，物资短缺，城市被轰炸，整个国家裹挟在焦灼和不安之中。你能想象吗？就在这样的背景下，东京帝国科学院的院刊上，竟接二连三地刊登出伊藤清的论文：《论某个平稳过程的遍历性》、《湍流的运动学理论》、《随机积分》……仿佛外界震耳欲聋的爆炸声，根本无法淹没他心中那个由纯粹逻辑音符构成的世界。1945 年，他拿到了博士学位。

一部无人问津的“乐谱”，为什么最终响彻云霄？

然而，历史在此刻展现出了它幽默又残酷的一面。1942 年，当伊藤清满怀热情地拿出这篇后来被视为现代随机分析奠基之作的论文时，它像一颗石子丢进了死水，几乎没有激起任何涟漪。没有人大加赞赏，也没有人奋起批判，它只是被安静地搁置在那里。

这大概是许多开创者的共同宿命：你跑得太快，跑到了同时代所有人的视线之外，于是你的奔跑，在别人看来就成了孤独的原地踏步。伊藤清后来用了一个极其动人的比喻来解释这种“延迟反应”。他说，精美的数学结构里藏着一种美，但这种美，和莫扎特的音乐、科隆大教堂给人的震撼截然不同。后两者，即便你对乐理或基督教一窍不通，也能直观地被感动。但数学的美，却无法在不理解那一组组表达逻辑法则的“数值公式”的前提下被欣赏。只有同为数学家的演奏者，才能阅读这些写满数字符的“乐谱”，并在心中奏响它的“旋律”。

伊藤引理，这个后来成为金融学常识的东西，就是他在 1942 年谱写的“主旋律”。可惜，当时整个音乐厅里座无虚席，却无人能读懂他的谱子。他只能像个孤独的作曲家，守着自己的总谱，静静地等。


伊藤清

这一等，就是十多年。直到战后学术交流重新活跃起来，越来越多的数学家才开始回过神来，纷纷捡起这份尘封的乐谱。麻省理工学院的数学教授丹尼尔·斯特鲁克（Daniel Stroock）后来这样形容那个时刻：“全世界的人都意识到，伊藤所做的事情，解释了以前根本无法解释的东西。”他们惊觉，自己手里捧着的不是废纸，而是一份通往新世界的地图。他们开始用自己擅长的“乐器”——更强大的分析工具、更广阔的数学结构——去发展这部作品，让它从独奏变成协奏，最终演变为一部属于整个 20 世纪的宏伟交响乐。

伊藤清的数学风格极其独特。他不喜欢依赖繁重的分析技巧或僵化的数学形式主义，他的路径非常直接，几乎完全诉诸于对概率本身的那种直觉。

他的另一项里程碑式贡献——偏移理论（excursion theory）——体现的就是这种风格。根据这个理论，一个随机过程随时间的演变，可以被分解为无数次“从某个固定点出发的偏移”。由此产生的形式体系虽然威力巨大，却也极难驾驭，因为在有限时间里，这样的偏移在理论上可以是无穷多次。这就是他思考问题的方式：直面混沌本身，从中拆解出可以把握的结构。

一个被蹄铁匠记住的漫游者

1952 年，伊藤清就任京都大学教授，在那里一直待到 1979 年退休。但这绝不意味着他是一个困守书斋的隐士。从 1954 年开始，他先后在美国普林斯顿高等研究院待了两年，又去丹麦的奥胡斯大学、印度的塔塔研究所、美国的康奈尔大学和斯坦福大学长期访问和任教。斯特鲁克提到日本文化常被认为偏内向时，特别强调：“但这个人，和‘封闭狭隘’这种词完全是反义词。”他是一个真正的世界漫游者。

更有趣的是，他掌握这种漫游能力的方式本身也像一个奇迹。他学了四门外语：中文、德文、法文和英文。但他掌握它们的方式，全部是作为书面语言。他喜欢拿自己的英语口语开玩笑——据他最小的女儿纯子（Junko Ito）回忆，他的口音许多美国人完全听不懂。有一次他们开车去德克萨斯州旅行，一路上和当地人打交道的事情，全部落在了女儿头上。但就是这个说不利索英语的人，用精确的数学语言，与整个世界展开了最深层次的对话。

他那种孩童般的强烈好奇心，并不只局限于数学。斯特鲁克回忆过一个令人忍俊不禁的场景。上世纪 70 年代，斯特鲁克在科罗拉多大学教书时，伊藤清去他家里住，两人合写一本著作。有一天，斯特鲁克告诉伊藤清，今天没办法工作，因为家里的马那天要钉掌。你猜伊藤清什么反应？他一点不觉得这是无关紧要的乡下杂事，反而兴奋地跟了出去，蹲在旁边从头看到尾。斯特鲁克说：“他把蹄铁匠逼疯了。那家伙每做一个动作，伊藤就要问一个问题。”

这就是那个被日本数学界私下尊称为“天皇”的人。不是因为他威严，而是因为他有一种近乎天真的、无处不在的、刨根问底的渴望。


伊藤清

当伊藤引理开始掌管你的钱包和生活

1979 年，伊藤清从京都大学退休，但他并未从数学中退休。他到学习院大学继续任教，笔耕不辍。而对我们这个世界来说，“伊藤公式”的登场这才算真正开始。

现在，你随便走进华尔街任何一家投行，拉住一个正在盯着屏幕、满眼血丝的“宽客”，问他吃饭的家伙是什么。他大概会打个哈欠，然后轻描淡写地告诉你：“伊藤引理。”没错，那个用来给期权定价的、大名鼎鼎的布莱克-斯科尔斯模型，它的核心引擎，就是伊藤清几十年前在那间战时小屋中锻造出的工具。

但这其实并不是一个纯粹的巧合。很少有人知道，伊藤清在 20 世纪 40 年代发展他的积分理论时，一个核心的思考动机，就是如何为一只股票的收益演变建模。他的想法是，把股票的收益拆解成两块：一块是确定性部分，就像你把钱存在银行里拿到的平均回报；另一块是随机的风险部分，用来刻画经济和金融环境中捉摸不定的不确定性。这个思路，其实是对法国数学家巴施里耶（Louis Bachelier）在 1900 年做出的最初尝试的修正和严格化。


巴施里耶

可以说，伊藤清和巴施里耶，是今天整个“数理金融学”这门学科的两位奠基之父。他当时种下的那棵树苗，在半个多世纪后，其枝叶已经覆盖了整个全球金融体系。

我们是不是可以这样问：花粉的无规则运动，和我们钱包里的股票涨跌，本质上真的有区别吗？在数学的视角下，它们的确是同一种语言写就的故事。无数个微小的、看似随机的市场买卖指令，汇聚成了一条波澜壮阔的K线图。而伊藤清的理论，第一次让人们在面对这种极致的不确定性时，有了一个可以进行定量分析的、逻辑自洽的框架。它告诉你，风险不再是不可言说的命运，而是可以被计算、被分解、甚至被定价的“对象”。

但这远不止是让一部分人变得富有那么简单。今天，物理学家用它来追踪烟雾的扩散轨迹，种群遗传学家用它来模拟基因频率的随机漂变，工程师用它来设计在强风下依然能平稳运行的控制系统。几乎在所有需要分析“随时间发生的随机波动”的学科前沿，伊藤的分析都成了一件不可或缺的基础工具。

他一生所获的荣誉——从日本的朝日奖、学士院奖到以色列的沃尔夫奖，再到 2006 年的高斯奖，以及美国和法国国家科学院的外籍院士身份——或许只说明了他在学术殿堂内的荣光。而真正让他的“音乐”飞入寻常百姓家的，是那种超越一切奖项的、日用而不自知的广泛应用。他自己曾说，他从未想过能不用公式就传达心中的旋律，而如今，世界各处都有机器和人，在日复一日地“演奏”和“聆听”着他的心声。



南方 Er