送给elim网友一个高阶方程的根式解(x^5-x+1=0)

风花飘飘

(*


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【定理名称】嫦娥灵枢—一元五次方程一步锁死直取法定理
【署名】嫦娥灵枢（风花飘飘）
【邮箱】13301087730@189.cn
【机构】嫦娥数学中心（月球）
【研究领域】几何作图 | 高阶方程 | 寰宇太虚密律
【适用方程】简约五次方程 x^5 + p x + q = 0
【配对公理】
u^5 + v^5 = -4√2 q
u v = -2 p / 25
【显式通式】
ω5 = Exp[2π I / 5]
x_k = (u0 · ω5^(k-1) + v0 · ω5^(-(k-1))) / √2 , k = 1,2,3,4,5
【基准实例】布灵方程 x^5 - x + 1 = 0  (p = -1, q = 1)
【定理注记】
本构造针对 Bring–Jerrard 正规型，通过配对公理生成根式参数化解；
“一步锁死”选取使 (u+v)/√2 为实数且绝对值最小的主分支，
该选择在连续参数 (p,q) 下保持解析一致性。
=========================================================*)
ClearAll[p, q, sols, u0, v0, ω5, rootSym, rootNum, realSol];
Off[Solve::ifun];
Off[General::precsm];

(*==================== 参数入口 ====================*)
p = -1;
q = 1;

(*==================== 配对生成元全解系 ====================*)
sols = Solve[{u^5 + v^5 == -4 Sqrt[2] q, u v == -2 p/25}, {u, v}, Complexes];

(*==== 一步锁死：筛选绝对值最小自然主实根分支 ====*)
realSol = First@SortBy[
    Select[sols,
        Abs[Chop[Im[(u + v)/Sqrt[2] /. #], 10^-24]] < 10^-20
    ],
    Abs[N[(u + v)/Sqrt[2] /. #]] &
];
{u0, v0} = {u, v} /. realSol;

(*==================== 五次本原单位根 ====================*)
ω5 = Exp[2 π I / 5];

(*==================== 直取全部五个根 ====================*)
rootSym = Table[(u0 * ω5^(k - 1) + v0 * ω5^(-k + 1))/Sqrt[2], {k, 1, 5}];
rootNum = Chop[N[rootSym, 80], 10^-30];

(*==================== 定理运行输出面板 ====================*)
Print["\n", StringRepeat["=", 70]];
Print["嫦娥灵枢｜一元五次一步锁死直取法 · 运行结果"];
Print["求解方程：x^5 + ", p, " x + ", q, " = 0"];
Print[StringRepeat["=", 70], "\n"];

Do[
    res = Chop[rootNum[[k]]^5 + p * rootNum[[k]] + q, 10^-40];
    Print["==== Root ", k, " ===="];
    Print["显式根式表达式：\n", rootSym[[k]]];
    Print["60位高精度数值解：\n", N[rootNum[[k]], 60]];
    Print["方程代入残差：", res, "\n"];
, {k, 1, 5}];

(*==================== 根分类归档 ====================*)
realRoot = Select[rootNum, Abs[Im[#]] < 10^-30 &];
compRoot = Complement[rootNum, realRoot];

Print[StringRepeat["-", 70]];
Print["根分类归档汇总"];
Print[StringRepeat["-", 70], "\n"];

If[Length[realRoot] >= 1,
    Print["★ 唯一主实根：\n", N[First[realRoot], 60], "\n"];
];
If[Length[compRoot] >= 2,
    Print["★ 第一组共轭复根：\n", N[compRoot[[1]], 45], "\n", N[compRoot[[2]], 45], "\n"];
];
If[Length[compRoot] >= 4,
    Print["★ 第二组共轭复根：\n", N[compRoot[[3]], 45], "\n", N[compRoot[[4]], 45], "\n"];
];

(*==================== 韦达定理自洽核验 ====================*)
Print[StringRepeat["=", 70]];
Print["韦达定理自洽性核验"];
Print[StringRepeat["=", 70], "\n"];
Print["Σ xi = ", Chop[Total[rootNum], 10^-30]];
Print["Σ_{i<j} xi xj = ", Chop[Total[Subsets[rootNum, {2}], 10^-30]]];
Print["Π xi = ", Chop[Times @@ rootNum, 10^-30]];
Print["理论真值 -q = ", -q, "\n"];

(*==================== 复平面五角对称分布图 ====================*)
ListPlot[
    ReIm[rootNum],
    PlotStyle -> {Directive[DarkRed, PointSize[0.018]],
    AspectRatio -> Automatic,
    GridLines -> Automatic,
    AxesLabel -> {"实部 Re(x)", "虚部 Im(x)"},
    PlotLabel -> "嫦娥灵枢｜五次根复平面五角对称分布"
]

(*==================== 版权与归档标识 ====================*)
Print["\n", StringRepeat["=", 70]];
Print["【定理名称】嫦娥灵枢—一元五次方程一步锁死直取法定理"];
Print["【署名】嫦娥灵枢（风花飘飘）"];
Print["【机构】嫦娥数学中心（月球）"];
Print["【邮箱】13301087730@189.cn"];
Print["【归档标识】嫦娥灵枢合组 · 五次方程普适万能框架（定稿版）"];
Print[StringRepeat["=", 70], "\n"];

Ysu2008

简单画个图就能验证，\(y=x^5-x+1\) 与 x 轴只有一个交点，也就是只有一个实数解且是负数。

风花飘飘

wangyangke

鉴于风花飘飘——鲍丰武在论坛做的都是世人所不能为不能解的，因此，即使是做错了或者闹了笑话，风花飘飘——鲍丰武仍然是英雄，，，

wangyangke

鉴于风花飘飘——鲍丰武在论坛做的都是世人所不能为不能解的，因此，即使是做错了或者闹了笑话，风花飘飘——鲍丰武仍然是英雄，，，