已知实数 x,y 满足 z^2+xy+2y^2=7 ，求 x^2+3y^2 的最小值

dodonaomikiki

我的疑问：
能否通过椭圆的旋转，得到标准方程，从而来求解？
或者通过其他纯几何方法来求解她？

dodonaomikiki

斜椭圆形状请看

dodonaomikiki

我先进行旋转，
\(计算得到tan2\psi=-1    \\
取到特殊值：\psi=-22.5度    \)

dodonaomikiki

然后得到一个椭圆的标准方程：



\(     \displaystyle{  \boldsymbol      {                                                 （1+  \frac{\sqrt{2}}{4}）x^2+（1-  \frac{\sqrt{2}}{4}）y^2=7                   }}\)
然后接下来，不晓得下一步怎么进行啦！

Ysu2008

已知 \(x^2+xy+2y^2-7=0\), 计算\(x^2+3y^2\)的最小值.
【解】令 \(x^2+3y^2=t\) ，可知该曲线 \(\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{\frac{t}{3}}=1\) 也是椭圆（图中橙色椭圆）。

在两椭圆有交点的条件下，使得\(t\)尽可能小，显然在两椭圆相切时\(t\)取得最小值。

设两椭圆相切时的公切点为\(\left( u{,}v\right)\)
斜椭圆\(x^2+xy+2y^2-7=0\)在公切点处的切线方程（有公式可套）为\(\frac{2u+v}{14}x+\frac{u+4v}{14}y-1=0\)
正椭圆\(\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{\frac{t}{3}}=1\)在公切点处的切线方程为\(\frac{u}{t}x+\frac{3v}{t}y-1=0\)

两曲线相切，公切点处的两切线必重合，由此得方程组\(\begin{cases}
\frac{u}{t}=\frac{2u+v}{14}\\
\frac{3v}{t}=\frac{u+4v}{14}
\end{cases}\)
恰好可以消去\(u{,}v\)得一元二次方程\(t^2-20t+84=0\)
解得\(t=\begin{cases}
6\\
14
\end{cases}\)
分别对应两个公切位置：

Future_maths

拉格朗日乘子法就可以了。

风花飘飘

最大值是14。









最小值是牛（6）！

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答已收藏。

下面是我的另一种解法：

王守恩

\(已知实数\ x,y\ 满足\ x^2+xy+2y^2=7,\ 求\  x^2+3y^2\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=3y。可以有\ y=\frac{1}{\sqrt{2}},x=\frac{3}{\sqrt{2}},x^2+3y^2=6\)

\(已知实数\ x,y\ 满足\ x^2+xy+(a-1)y^2=n,\ 求\ x^2+a y^2\ 的最小值。\)

\(瞪眼\ x=(1 + \sqrt{a + 1}) y。后面省略了。\)