【千年一笑】好玩儿的古典几何作图题

风花飘飘

实在太好玩了，怕大家乐的不行，删除了

风花飘飘

独乐乐不如众乐乐，还是贴出来吧……
不喜就喷！

Ysu2008

已知单位1长度，无法用尺规作出一条线段使得其长度等于 \(\pi\) .

Ysu2008

反过来也一样啊，已知一条线段长度为 \(\pi\) ，怎么作单位 1 线段？没有单位 1 你怎么开方？

Ysu2008

你随手画一条线段令其长度为 \(\pi\)，再随手画一条线段令其长度为 1 ，这样真的好玩吗？

风花飘飘

Ysu2008

你怎么保证单位1线段与 \(\pi\)线段的实际长度比为 \(1:\pi\) ？

Ysu2008

已知线段长为 \(\pi\) 的条件下，单位 1 是不能随意指定的。

如图，已知线段 \(AB=\pi\) ，我们想对 AB 开平方，也就是作 \(\sqrt{\pi}\)，

作法如下：
(1) 以 AB 为直径作圆；
(2) 在 AB 上取一点 C 使得 \(AC\ =\ 1\)；
(3) 过 C 作 AB 垂线交圆于 D；

因为 \(\triangle ABD\ \sim\triangle ADC\ \Rightarrow\ \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD^2=AB\times AC\)
如果 \(AC=1\) 那么 \(AD^2=AB\times1\Rightarrow AD=\sqrt{AB}=\sqrt{\pi}\)


如果 \(AC\ \ne1\) ，那么 \(AD\ \ne\sqrt{\pi}\) ，所以 C 点在 AB 上的位置不能随意指定，必须保证 \(\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\pi}\) .

所以，已知线段 \(\pi\)，得首先作出线段 1 才行 。

Ysu2008

当我们指定一条定长线段为 \(\pi\) 时，线段 1 有多长也就同时确定了。不可能说， \(\pi\) 有多长是固定的，1 有多长却是随机的，对吧？

Ysu2008

想通了？很好嘛。