已知正数 a,b 满足 a+b=2 ，求证 a^3+b^3≥2

波斯猫猫

《数学期刊》平时多思考，考试很轻松
原创  享受数学  2026 年 7 月 9 日 07:41  江苏
luyuanhong发表于 2026-8-8 01:01

原题：已知正数a,b满足a+b=2,求证a^3+b^3≥2.

思路：2=a+b≥2√(ab)，即ab≤1，
∴ a^3+b^3+3(a+b)≥a^3+b^3+3ab(a+b)
=(a+b)^3=4(a+b)，即a^3+b^3≥a+b=2.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子很好！已收藏。

liangchuxu

凑个热闹

时空伴随者

\(令a=1+t,b=1-t,0\le t<1\\\)
\(则a^3+b^3\\=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\=2((1+t)^2-(1+t)(1-t)+(1-t)^2)\\=2(1+3t^2)\\\ge2\\\)

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

原题：已知正数a,b满足a+b=2,求证a^3+b^3≥2.
思路：2=a+b≥2√(ab)，即ab≤1，
8=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)
∴ a^3+b^3=8-6ab≥8-6=2，即a^3+b^3≥a+b=2..
这个最简洁/自然/丝滑.