正实数x,y,z满足x+y+z=3,求S=√(x^2-xy+y^2) +√(y^2-yz+z^2)+√(z^2-zx+x^2)的最小值

波斯猫猫

《数学期刊》三元对称不等式，解法应该很多吧
原创  数学好风景  2026 年 8 月 4 日 09:00  重庆
luyuanhong发表于 2026-8-6 01:18

原题：正实数x,y,z满足x+y+z=3,求S=√(x^2-xy+y^2)
+√(y^2-yz+z^2)+√(z^2-zx+x^2)的最小值.

思路：√(x^2-xy+y^2)≥√[x^2+y^2-(x^2+y^2)/2]

=√[(x^2+y^2)/2]=√[(x^2+y^2+x^2+y^2)/4]

≥√[(x^2+y^2+2xy)/4]=(x+y)/2，后二者同理可证.

∴ S=√(x^2-xy+y^2)+√(y^2-yz+z^2)+√(z^2-zx+x^2)

≥(x+y)/2+(y+z)/2+(z+x)/2=x+y+z=3.

(当且仅当x=y=z=1时取等号)

luyuanhong

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