[分享]梅滕斯(Mertens)定理

yangchuanju

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2楼  qingjiao  发表于 2009-12-28 01:10
“民科”一词有贬义，还是称之为数学爱好者。
一个典型的错误就是，求素数个数时使用类似下式：
π(x)=x*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*...*(1-1/p), p≤√x。
这个式子的主要问题不在于整除误差，而是它的应用基础。实际上它是将素数的出现当作一个个不相关的独立事件，将它们的概率相乘。但是，你怎么知道，怎么证明素数的出现是一个个不相关的独立事件？？
许多爱好者，典型的例如“胡桢”，总是抱怨“主流数学界”不承认用概率求素数个数的方法，是刻意打压云云。其实不是不能用概率，而是用概率必须有一定的前提。这个前提不满足，或者不证明满足，那就不能乱用。
事实上该式求出素数个数的误差，在某个x之后是不断扩大的，利用excel等简单工具就可以验证。为什么会出现这种情况呢？前人早已证明：
∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x。
取其主项，当x-->∞时，x*∏(1-1/p)，p≤√x-->x/1.7810ln√x=1.123x/lnx=1.123π(x)
一个好的公式，至少在x增大时，相对误差应不断缩小，而不是增大或不变。显然x*∏(1-1/p)不符合这一条。类似地，爱好者们用来求哥猜解数的含有(1-2/p)之类的连乘式子，同样缺乏应用的前提，同样会在某个x之后相对误差不断增大。
以上现象暗示，素数的出现并非一个个不相关的独立事件，而是存在某种相关性，只是这种相关性不能用简单的数学形式表示罢了。

yangchuanju

转载大傻的有关哥猜证明
哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测的初步证明
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1楼  大傻8888888  发表于 2018-8-19 16:00
本帖最后由 大傻8888888 于 2021-3-25 21:17 编辑
“我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2  其中∏[(p-1)/(p-2)]中的p|N，√N≥p＞2  c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN  其中2≤p≤√N  e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)  其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
【附注：第一步(1-2/p)=(p-2)/p=(p-1)/p*(p-2)/(p-1)=(1-1/p)*(p-2)/(p-1)；
第二步倒退(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]=(p-1)/p*(p-1)/p*[(p-1)^2-1]/(p-1)^2=(p-1)/p*(p-1)/p*(p^2-2p)/(p-1)^2=(p-1)/p*(p-1)*(p-2)/(p-1)^2=(1-1/p)*(p-2)/(p-1)】
=2∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]  其中2＜p≤√N，
所以
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2  
【附注：∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN，∏1/2*(1-1/p)～e^(-γ)/lnN，2∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]=2∏[e^(-γ)/lnN]^2*c=2c*∏[e^(-γ)/lnN]^2】
上面(1-2/p)里2＜p≤√N  (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
欢迎广大网友批评指正”