一个代数恒等式应用再举例

luyuanhong

一个代数恒等式应用再举例

原创  港城数学  港城数学  2026 年 8 月 9 日 22:21  江苏

本号介绍过代数恒等式  a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) ，

并举例了此恒等式在求值中的应用（见去年 9 月 28 号）。下面再举两例，用此恒等式能快速给出解答。

例 1  若 abc ≠ 0 ，且 a+b+c = 0 ，求 a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab 之值。

解：由恒等式知 a^3+b^3+c^3 = 3abc ，故

    a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab = (a^3+b^3+c^3) / (abc) =3 。

例 2  若 a+b+c=2 ，a^2+b^2+c^2=16 ，a^3+b^3+c^3=47 。
   
    求 1/(ab+2c)+1/(bc+2a)+1/(ac+2b) 之值。

解：∵  a^2+b^2+c^2=16 ，a+b+c=2  两边平方可求得

             ab+bc+ac=-6 ，进而由上面恒等式求得 abc=1 。

    故 ab+2c = ab+2(2-a-b) = ab-2(a+b)+4 = (a-2)(b-2) ，

    同理 bc+2a = (b-2)(c-2) ，ac+2b = (a-2)(c-2) 。

∴  所求式子 = (a-2+b-2+c-2) / [(a-2)(b-2)(c-2)]

     = (a+b+c-6) / [abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8]

    = (2-6) / [1-2×(-6)+4×2-8] = -4/13 。

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