素数表的逐级扩展

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:26

素数表的逐级扩展

参照吴代业部分理论，但非抄袭吴代业理论。
已知31以内有11个素数，除去2,3,5还有8个素数；
211以内有47个素数，除去2,3,5,7还有43个素数；……

先在7--31的8个奇素数的基础上，分别加30,60,90…180，最大数字变为211；
211平方根内最大素数是13，先用素数7删除37--211中的7的倍数数，位于表头的7不被删除；
次用素数11删除37--211中的11的倍数数，位于表头的11不被删除；
再用素数13删除37--211中的13的倍数数，位于表头的13不被删除；至此剩余数个数等于11+36=57个，都是素数。
三次筛分分别删除掉7,11,13的倍数数7,4,1个，至此剩余数个数等于11+36=57个，都是素数。
素数 7 11 13 17 19 23 29 31
互素1 37 41 43 47 49 53 59 61
互素2 67 71 73 77 79 83 89 91
互素3 97 101 103 107 109 113 119 121
互素4 127 131 133 137 139 143 149 151
互素5 157 161 163 167 169 173 179 181
互素6 187 191 193 197 199 203 209 211
删7
互素1 37 41 43 47 0 53 59 61 41
互素2 67 71 73 0 79 83 89 0
互素3 97 101 103 107 109 113 0 121
互素4 127 131 0 137 139 143 149 151
互素5 157 0 163 167 169 173 179 181
互素6 187 191 193 197 199 0 209 211
删11
互素1 37 41 43 47 0 53 59 61 37
互素2 67 71 73 0 79 83 89 0
互素3 97 101 103 107 109 113 0 0
互素4 127 131 0 137 139 0 149 151
互素5 157 0 163 167 169 173 179 181
互素6 0 191 193 197 199 0 0 211
删13
互素1 37 41 43 47 0 53 59 61 36
互素2 67 71 73 0 79 83 89 0
互素3 97 101 103 107 109 113 0 0
互素4 127 131 0 137 139 0 149 151
互素5 157 0 163 167 0 173 179 181
互素6 0 191 193 197 199 0 0 211

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:33

近日，吴代业正在大势兜售他的新型质数表，如果将删除13后的小表再配上大表的表头7,11,13,17,19,3,29,31，变成
211以内的素数表
n=0 7 11 13 17 19 23 29 31
1 37 41 43 47 0 53 59 61
2 67 71 73 0 79 83 89 0
3 97 101 103 107 109 113 0 0
4 127 131 0 137 139 0 149 151
5 157 0 163 167 0 173 179 181
6 0 191 193 197 199 0 0 211
或者再将表中的0一律换成1（合数），将大于0的44个素数一律换成0（素数），再转置一次，就变成了“地地道道的”吴代业新型质数表——
211以内的吴代业新型质数表
n=0 1 2 3 4 5 6 合成式
0 0 0 0 0 0 1 0000001
0 0 0 0 0 1 0 0000010
0 0 0 0 1 0 0 0000100
0 0 1 0 0 0 0 0010000
0 1 0 0 0 1 0 0100010
0 0 0 0 1 0 1 0000101
0 0 0 1 0 0 1 0001001
0 0 1 1 0 0 0 0011000

表中44个0，表示有44个素数，再加上素数2,3,5，在211以内共有47个素数。

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:41

在11--211的43个奇素数和5个二合数121,143,169,187,209的基础上，分别加210,420,630…2100，最大数字变为2311；
（仅用11--211之间的43个奇素数做加法是不行的，这样就漏掉了121,143,169,187,209分别加上210,420,630…2100中的素数）
后10行数字中不再全是素数，实际上都是与210互素的互素数；
2310平方根内最大素数是47，必须删除其中的11,13…47的倍数数，才能变成211--2311中的素数，2--2311之中共47+297=344个素数。
素数 11 13 17 19 23 29 31 199 209 211 个数
互素1 221 223 227 229 233 239 241 409 419 421 48
互素2 431 433 437 439 443 449 451 619 629 631 48
互素3 641 643 647 649 653 659 661 829 839 841 48
互素4 851 853 857 859 863 869 871 1039 1049 1051 48
互素5 1061 1063 1067 1069 1073 1079 1081 1249 1259 1261 48
互素6 1271 1273 1277 1279 1283 1289 1291 1459 1469 1471 48
互素7 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1501 1669 1679 1681 48
互素8 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1879 1889 1891 48
互素9 1901 1903 1907 1909 1913 1919 1921 2089 2099 2101 48
互素10 2111 2113 2117 2119 2123 2129 2131 2299 2309 2311 48
删11
互素1 221 223 227 229 233 239 241 409 419 421 44
互素2 431 433 437 439 443 449 0 619 629 631 44
互素3 641 643 647 0 653 659 661 829 839 841 43
互素4 851 853 857 859 863 0 871 1039 1049 1051 45
互素5 1061 1063 0 1069 1073 1079 1081 1249 1259 1261 42
互素6 1271 1273 1277 1279 1283 1289 1291 1459 1469 1471 45
互素7 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1501 1669 1679 1681 43
互素8 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1879 1889 1891 44
互素9 1901 0 1907 1909 1913 1919 1921 2089 2099 0 43
互素10 2111 2113 2117 2119 0 2129 2131 0 2309 2311 44
……………………（删13,17,19,23,29,31.37,41,43表皆省略未发）
删47
互素1 0 223 227 229 233 239 241 409 419 421 35
互素2 431 433 0 439 443 449 0 619 0 631 33
互素3 641 643 647 0 653 659 661 829 839 0 31
互素4 0 853 857 859 863 0 0 1039 1049 1051 31
互素5 1061 1063 0 1069 0 0 0 1249 1259 0 28
互素6 0 0 1277 1279 1283 1289 1291 1459 0 1471 28
互素7 1481 1483 1487 1489 1493 1499 0 1669 0 0 30
互素8 0 1693 1697 1699 0 1709 0 1879 1889 0 27
互素9 1901 0 1907 0 1913 0 0 2089 2099 0 27
互素10 2111 2113 0 0 0 2129 2131 0 2309 2311 27

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:43

类似的如果将删除47后的小表再配上大表的表头11,13,17,19,3,29,31…199,121,143,169,187,209,211，变成
2311以内的素数表（将二合数121,143,169,187,209分别插在素数113,141,167,181,199之后更好点，但在各次筛分时各列都没有了表头）——
n=0 11 13 17 19 23 29 31 199 209 211
1 0 223 227 229 233 239 241 409 419 421
2 431 433 0 439 443 449 0 619 0 631
3 641 643 647 0 653 659 661 829 839 0
4 0 853 857 859 863 0 0 1039 1049 1051
5 1061 1063 0 1069 0 0 0 1249 1259 0
6 0 0 1277 1279 1283 1289 1291 1459 0 1471
7 1481 1483 1487 1489 1493 1499 0 1669 0 0
8 0 1693 1697 1699 0 1709 0 1879 1889 0
9 1901 0 1907 0 1913 0 0 2089 2099 0
10 2111 2113 0 0 0 2129 2131 0 2309 2311

或者再将表中的0一律换成1（合数），将大于0的340个素数一律换成0（素数），再转置一次，就变成了“地地道道的”吴代业新型质数表——
2311以内的吴代业新型质数表——48行，11列，内含43+297=340个素数，再加上素数2,3,5.7，共344个素数；
亦或变成8行，66列的横长条表，表内素数个数不变。
具体表格略。

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:48

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-26 02:39 编辑

若要再在2310的基础上扩大一级，需在13--2311之中的480个与2310互素的互素数基础上，分别加上2310,4620…27720，最大数字变成30031；
30030平方根内最大素数是40号素数173，需对13行互素数分别用素数13,17,19…173逐一删除之，才能得到30031以内的素数表3248个，最大素数是30029。
继续在30030的基础上扩大一级，需在17--300311之中的5760个与30030互素的互素数基础上，分别加上30030,60060…480480，最大数字变成5105111；
510510平方根内最大素数是109号素数709，需对16行互素数分别用素数17,19,23…709逐一删除之，才能得到510511以内的素数表42331个，最大素数是510481。
继续在510510的基础上扩大一级，需在19--960961之中的92160个与510510互素的互素数基础上，分别加上510510,1021020…91891880，最大数字变成9609691；
9699690平方根内最大素数是343号素数3109，需对18行互素数分别用素数19,23,28…3109逐一删除之，才能得到9699691以内的素数表646029个，最大素数9699667。

综上，将逐级求素过程用简表表示如下：
素数素数阶乘素数个数最大素数根内最大素互素数个数互素/素数
2 2 1 2 —— —— ——
3 6 3 5 2 2 0.666666667
5 30 10 29 5 8 0.8
7 210 46 199 13 48 1.043478261
11 2310 343 2309 47 480 1.39941691
13 30030 3248 30029 173 5760 1.773399015
17 510510 42331 510481 709 92160 2.177127873
19 9699690 646029 9699667 3109 1658880 2.567810423
23 223092870 12283531 223092827 14929 36495360 2.971080547
29 6469693230 300369796 6469693189 80429 1021870080 3.402040064
31 2.0056E+11 8028643010 2.0056E+11 447829 30656102400 3.8183417
37 7.42074E+12 2.59489E+11 7.42074E+12 2724079 1.10362E+12 4.253054066
41 3.0425E+14 9.41492E+12 3.0425E+14 17442769 4.41448E+13 4.688813332
43 1.30828E+16 3.62598E+14 1.30828E+16 114379879 1.85408E+15 5.113327568
47 6.1489E+17 1.53977E+16 6.1489E+17 784149077 8.52877E+16 5.538981234
53 3.25892E+19 7.42238E+17 3.25892E+19 5708691479 4.43496E+18 5.975119648
59 1.92276E+21 4.0069E+19 1.92276E+21 43849291271 2.57228E+20 6.419625994
61 1.17288E+23 2.25126E+21 1.17288E+23 3.42474E+11 1.54337E+22 6.855561131
67 7.85832E+24 1.39567E+23 7.85832E+24 2.80327E+12 1.01862E+24 7.298466838
71 5.57941E+26 9.0595E+24 5.57941E+26 2.36208E+13 7.13035E+25 7.870585663
73 4.07297E+28 6.18271E+26 4.07297E+28 2.01816E+14 5.13386E+27 8.303569079
79 3.21764E+30 4.58052E+28 3.21764E+30 1.79378E+15 4.00441E+29 8.742244928
83 2.67065E+32 3.57683E+30 2.67065E+32 1.63421E+16 3.28361E+31 9.180222318
89 2.37687E+34 3.00286E+32 2.37687E+34 1.54171E+17 2.88958E+33 9.62275995
97 2.30557E+36 2.75363E+34 2.30557E+36 1.51841E+18 2.774E+35 10.07397307
101 2.32862E+38 2.63587E+36 2.32862E+38 1.52598E+19 2.774E+37 10.52401175
103 2.39848E+40 2.57962E+38 2.39848E+40 1.5487E+20 2.82948E+39 10.96859338
107 2.56638E+42 2.62811E+40 2.56638E+42 1.60199E+21 2.99925E+41 11.41218241
109 2.79735E+44 2.73332E+42 2.79735E+44 1.67253E+22 3.23919E+43 11.85071706
113 3.16101E+46 2.95228E+44 3.16101E+46 1.77792E+23 3.62789E+45 12.28840596
127 4.01448E+48 3.58711E+46 4.01448E+48 2.00362E+24 4.57114E+47 12.74323671

（前面的计算数字截取范围与本表略有不同，前表中将本身就是素数的31,211,2311计入素数个数中，故31,211,2311以内的素数个数分别是11,47,344个。）

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:53

自此，我们用了5步才从30逐渐扩大到210，2310，30030，510510，9699690，
吴代业想从100扩大到10000，第二步扩大到1亿，第三步扩大1亿亿，……
可能吗？吴代业即已知道211以内的素数，那就请做一个10000以内的素数表吧！
建议将11--211之间的48个与210互素的互素数累加210，47次，最大值达到10081；
再对表中的各个数字分别用11,13,17…97筛分一遍，注意筛分时必须保留11,13,17…97。

或将11--211之间的48个与210互素的互素数累加210，143次，最大值达到30031；
再对表中的各个数字分别用11,13,17…97…173筛分一遍，注意筛分时必须保留11,13,17…97…173，
变成一次扩大二级（210--2310--30030）的素数表，只是筛分过程中需用素数53--173对2310以内已全是素数的各个数字重复筛分一次。

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:57

30030以内的新型质数表，前曾发过专贴，请查阅！
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2066050

yangchuanju · 发表于 2026-8-25 20:58

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-26 02:49 编辑

吴代业想从100扩大到10000，第二步扩大到1亿，第三步扩大1亿亿，……的想法也不能说绝对不行，
10以内有4个素数2,5和3,7，以2和5为基（即以10为基），10以内有4个与10互素的互素数1,3,7,9；
在1,3,7,9的基础上分别加上10,20,30…90，分别用素数3和7对11--99以内的4列奇数筛分一遍，即得到100以内不含2和5的素数23个；
加上2和5，就是100以内的25个素数表。

在100以内4*10=40个与2和5互素的互素数基础上，分别加上100,200,300…9900，最大数9999，
分别用3,7,11…97筛分一遍，但需保留素数3,7,11…97，即得到1000以内不含2和5的素数9590个；
再加上2和5，就是10000以内的9592个素数表。

在10000以内4*1000=4000个与2和5互素的互素数基础上，分别加上10000,20000,30000…99990000，最大数99999999，
分别用3,7,11…9973筛分一遍，但需保留素数3,7,11…9973，即得到10000000（亿）以内不含2和5的素数5761453个；
再加上2和5，就是100000000（亿）以内的5761455个素数表。

在1亿以内4千万个与2和5互素的互素数基础上，分别加上1亿，2亿，3亿，…9999亿，最大数1亿亿减1，
分别用3,7,11…99999989筛分一遍，但需保留素数3,7,11…99999989，即得到1亿亿以内含2和5的素数99999989个。

在1亿亿以内4千万亿个与2和5互素的互素数基础上，分别加上1亿亿，2亿亿，3亿亿，…99999999亿亿，最大数10^32-1，
分别用3,7,11…9999999999999937筛分一遍，但需保留素数3,7,11…9999999999999937，即得到10^32以内含2和5的素数****个（目前尚不知道准确数字）。

请看，这与分别用2,3,5..97…9973…99999989...9999999999999937对1万，1亿，1亿亿(10^16)，1亿亿亿亿(10^32)直接筛分又有多大区别？

yangchuanju · 发表于 2026-8-26 03:16

素数阶乘前后素数
前n个素数连乘积俗称“素数阶乘”，简记p#，素数阶乘都是偶合数；
素数阶乘p#±1可能是素数，也可能是合数；
素数阶乘p#±2,3,4…p，直至加减到下一个素数减1之中都没有素数，全是合数；
（例5#=30，素数5的下一个素数是7，7-1=6，30±2,3,4,5,6都不是素数；例7#=210，素数7的下一个素数是11，11-1=10，210±2,3,4,5,6,7,8,9,10都不是素数。）
设素数p的下一个素数是q，那么p#±q又会怎样？
答案是——即可能是素数，也可能是合数。

A002110给出350个素数阶乘数，
Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#.
1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410, 32589158477190044730, 1922760350154212639070, 117288381359406970983270, 7858321551080267055879090……

A057705给出11个p#-1型素数
Primorial primes: primes p such that p+1 is a primorial number (A002110).
5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, 19361386640700823163471425054312320082662897612571563761906962414215012369856637179096947335243680669607531475629148240284399976569……

A057704给出24个p#-1型素数之中p的素数号
Primorial - 1 prime indices: integers m such that the m-th primorial minus 1 is prime.
2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, 67132, 85586, 234725, 334023, 435582, 446895……
第2个素数3的素数阶乘6减1等于5是素数；
第3个素数5的素数阶乘30减1等于29是素数；
第5个素数11的素数阶乘11#减1等于2309是素数；
第6个素数13的素数阶乘13#减1等于30029是素数；……

yangchuanju · 发表于 2026-8-26 03:18

A018239给出10个p#+1型素数
Primorial primes: primes of the form 1 + product of first k primes, for some k.
2, 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131……

A014545给出28个p#+1型素数之中p的素数号
Numbers k such that the k-th Euclid number A006862(k) = 1 + (Product of first k primes) is prime.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237, 304723, 365071, 436504, 498865, 637491
第一个0可能是第0个素数阶乘1加1等于2是素数；
第1个素数2的素数阶乘2加1等于3是素数；
第2个素数3的素数阶乘6加1等于7是素数；
第3个素数5的素数阶乘30加1等于31是素数；
第4个素数7的素数阶乘210加1等于211是素数；
第5个素数11的素数阶乘2310加1等于2311是素数；……

A000849给出19个小于等于素数阶乘p#中的素数个数
Number of primes <= product of first n primes, A002110(n).
0, 1, 3, 10, 46, 343, 3248, 42331, 646029, 12283531, 300369796, 8028643010, 259488750744, 9414916809095, 362597750396740, 15397728527812858, 742238179058722891, 40068968501510691894, 2251262473052300960826, 139566579945945392719413

A007014给出350个小于等于素数阶乘p#的最大素数
Largest prime <= Product prime(k).
2, 5, 29, 199, 2309, 30029, 510481, 9699667, 223092827, 6469693189, 200560490057, 7420738134751, 304250263527209, 13082761331669941, 614889782588491343, 32589158477190044657, 1922760350154212638963, 117288381359406970983181, 7858321551080267055878989……

A067021给出25个（编号2-26）小于等于素数阶乘p#平方根的最大素数
Largest prime of which the square still does not exceed the product of first n primes, the n-th primorial.
其平方仍不超过前 n 个质数乘积（即第 n 个素数阶乘）的最大质数。
2, 5, 13, 47, 173, 709, 3109, 14929, 80429, 447829, 2724079, 17442769, 114379879, 784149077, 5708691479, 43849291271, 342473913367, 2803269796331, 23620771158583, 201815957246317, 1793779464521953, 16342108667160251, 154171144824008969, 1518409682511777919, 15259828451149028543

A038710给出350个大于素数阶乘p#的最小素数
a(n) is the smallest prime > product of the first n primes (A002110(n)).
2, 3, 7, 31, 211, 2311, 30047, 510529, 9699713, 223092907, 6469693291, 200560490131, 7420738134871, 304250263527281, 13082761331670077, 614889782588491517, 32589158477190044789, 1922760350154212639131, 117288381359406970983379, 7858321551080267055879179……

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