刘若川：p 进数——实数世界里不可能的事，在这里成为可能

luyuanhong

刘若川：p 进数——实数世界里不可能的事，在这里成为可能

原创  墨子沙龙  墨子沙龙  2026 年 8 月 20 日 10:23  上海

2025 年是联合国教科文组织确立的“国际量子科学与技术年”。在数学的天地里，同样有许多令人惊叹的抽象构造。墨子沙龙十周年之际，北京大学数学科学学院院长、中国科学院院士刘若川，为现场观众带来了一场关于“p 进数”的科普报告。

作为现代数论的重要工具，p 进数从我们熟悉的进制表示出发，把整数从右向左有限书写的形式，扩展为可以向左无限延伸的形式。由此得到的并不是一种书写游戏，而是一个具有严格运算法则和独特“距离观念”的新数系。

在这个数系中，有些在实数世界里不可能发生的事情会成为可能。例如，在 5 进数中，-1 有平方根。对每一个素数 p ，我们都可以建立一个相应的 p 进数世界，从一个新的方向观察整数。



1  从进制说起

数论研究的是整数及其性质。整数看起来非常熟悉：有自然数 1,2,3,… ，有 0 ，也有负整数。但关于整数，人们可以提出许多极其困难的问题，其中不少问题至今仍未解决。

与几何图形相比，整数缺少直接的视觉形象。几何对象可以画出来，而整数的深层结构往往只能通过抽象思维来把握。

我们不妨从最熟悉的“进制”讲起。



2  什么是 p 进数



3  为什么无限运算是可行的



4  p 进数中的距离



5  一个奇妙的等式



6  在五进数中，-1 可以开平方根



7  为什么研究 p 进数

有人也许会问：这样一个抽象的数系有什么用？

首先，数学对象的存在并不要求我们能够直接看见或触摸它。整数本身就是从现实事物中抽象出来的：5 个苹果、5 个梨、5 本书，它们共同体现了抽象的数量“5”。

p 进数同样是理性构造出来的数学对象。它有明确的定义、严格的运算法则和丰富的内部结构。

更重要的是，研究 p 进数的最终目的，往往还是为了研究普通整数。许多关于整数的问题，在整数系统内部很难处理。数学家于是把同一个问题分别放到实数和不同的 p 进数世界中考察。

对每一个素数 p ，Qp 都提供了一个从“p 的方向”观察有理数和整数的方法。可以把整数世界想象成一个复杂的立体物体，而不同的 p 进数世界，就像从不同方向投射出的影子。

研究这些影子，往往能够帮助我们了解原来的物体。

8  局部与整体

数学中有一种重要思想，叫作“局部—整体原则”。

这里的“局部”，不仅包括每一个 p 进数世界 Qp ，通常还包括实数世界 R ；“整体”则通常指有理数世界 Q 。

对于某些类型的方程，特别是二次型方程，有一个非常深刻的结论：一个二次型方程在有理数中存在非零解，当且仅当它在实数中有解，并且在每一个 Qp 中都有解。

这就是 Hasse–Minkowski 定理。

需要特别注意的是，这里讨论的是二次型的有理数解，不能简单表述为“只要在每个 p 进数中有解，就一定有整数解”。从有理数解进一步判断整数解，通常还需要考虑整性、同余条件以及其他算术信息。

对于次数更高的方程，局部处处有解也未必能推出整体有解。确实存在一些方程：

● 在实数中有解；

● 在每一个 p 进数中都有解；

● 但在有理数中没有解。

这说明，所有局部信息加在一起，有时仍不足以完全决定整体情况。现代数论和算术几何中，人们使用上同调、Brauer 群等更深刻的工具，研究这种由局部到整体过程中出现的障碍。

因此，p 进数并不是凭空创造出来的奇异对象。它们揭示了整数和有理数所具有的深层结构。

9  数学家的思维方式

最后值得关注的，不只是某一个具体定理，而是数学家解决问题的方式。

对许多学生来说，数学常常表现为做题：题目已经给出，入口和出口也已经存在，任务是在规定的道路中找到解法。这有些像在迷宫里寻找出口。

但真正的数学研究，常常还需要另一种能力：不只是在迷宫中走，而是设法“飞起来”，从更高的角度重新观察整个迷宫。

在数学世界里，这架“飞机”不会自然出现。它需要数学家创造新的概念、新的语言和新的数系。

p 进数就是这样一种创造。它把人们熟悉的进制表示向左无限延伸，改变了衡量距离的方式，也为研究整数提供了全新的观察角度。

如果把整数世界比作一个结构极其复杂的物体，那么实数世界以及各个 p 进数世界，就像从不同方向照射它所形成的影子。我们分别研究这些影子，再尝试把各种信息综合起来，从而理解原来的整数世界。

数学中的重要突破，往往就来自这样的视角跃迁。

10  结语

今天，希望大家至少记住两件事：

第一，p 进数是一种严格定义的新数系。向左无限延伸的数字串首先构成 p 进整数 Zp ；进一步允许有限位的负次幂，就得到 p 进数域 Qp 。它们拥有与实数不同的距离和收敛观念，并能够帮助我们研究整数和有理数问题。

第二，数学家的任务不只是在已有的迷宫中寻找道路，也包括创造新的工具、建立新的视角，甚至发明一架可以飞到迷宫上空的“飞机”。

而未来制造这架飞机的人，也许就在今天的听众之中。

墨子沙龙