A,B 两点分别在圆 x^2+y^2=36 和 (x-16)^2+y^2=16 上，连线 AB 通过 C(9,2)，求 minAB

dodonaomikiki

点A,B分别是两个圆上的动点，且经过C（9,2），请计算：min(AB)



注明：

点D(0,0)

点F(16,0)

Nicolas2050

注明：
点D(0,0)
点F(16,0)

Ysu2008

【解】设直线\(AB\)的倾角为\(\theta\)，则直线\(AB\)上动点\(P\)的坐标为
\(\begin{cases}
x=9+t\cos\theta\\
y=2+t\sin\theta
\end{cases}\)
这就是直线\(AB\)的参数方程，参数\(t\)的几何意义为定点\(C\left( 9{,}2\right)\)到动点\(P\left( x{,}y\right)\)的有向距离。

如果动点为A，CA的有向距离为\(t_1\)，则A点坐标必然满足圆D方程，于是有
\(\left( 9+t_1\cos\theta\right)^2+\left( 2+t_1\sin\theta\right)^2=36\)
\(\Rightarrow\left( t_1\right)^2+\left( 18\cos\theta+4\sin\theta\right)t_1+49=0\)
\(\therefore t_1=-\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)\pm\sqrt{\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)^2-49}\)

如果动点为B，CB的有向距离为\(t_2\)，则B点坐标必然满足圆F方程，于是有
\(\left( 9+t_2\cos\theta-16\right)^2+\left( 2+t_2\sin\theta\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\left( t_2\right)^2+\left( 4\sin\theta-14\cos\theta\right)t_2+37=0\)
\(\therefore t_2=-\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)\pm\sqrt{\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)^2-37}\)

在作图软件上目测，线段AB长度在最小值附近时，直线AB的倾角满足\(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)
所以 \(t_1>0\)，有向线段CA的长度为\(t_1\)两根中小者:\(CA=-\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)-\sqrt{\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)^2-49}\)
\(t_2<0\)，有向线段CB的长度为\(t_2\)两根中大者:\(CB=-\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)+\sqrt{\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)^2-37}\)

\(\because\left| AB\right|=CA+\left( -CB\right)\)
\(\left| AB\right|=-\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)-\sqrt{\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)^2-49}+\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)-\sqrt{\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)^2-37}\)
\(=-16\cos\theta-\sqrt{\left( 9\cos\theta+2\sin\theta\right)^2-49}-\sqrt{\left( 2\sin\theta-7\cos\theta\right)^2-37}\)

对上式求数值解，\(\theta\approx3.0894644414341\) 时，AB取得最小值 \(\min\left( AB\right)\approx6.85687395863484\)

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答已收藏。

王守恩

∠ADF = a,   ∠BFD = b。

NMinimize[{Sqrt[(9 - 6 Cos[a])^2 + (6 Sin[a] - 2)^2] + Sqrt[(7 - 4 Cos[b])^2 + (2 - 4 Sin[b])^2], (9 - 6 Cos[a])/(7 - 4 Cos[b]) == (6 Sin[a] - 2)/(2 - 4 Sin[b]), 0 < a < b < 1}, {a, b}]

{6.85687, {a -> 0.371464, b -> 0.472541}}

王守恩

过A,B的切线交于P,  PC⊥AB。

dodonaomikiki

维拉便于观察，
对王的帖子，进一步LATEX化



∠ADF = a,   ∠BFD = b。




NMinimize[{               \(         \sqrt  {[(9 - 6 Cos[a])^2 + (6 Sin[a] - 2)^2]   }  \)            +     \(          \sqrt{    (7 - 4 cosb)^2 + (2 - 4 sinb)^2         }   \)     ,        \(        (9 - 6 cosa)/(7 - 4 cosb)        \)    ==         \(             (6 sina- 2)/(2 - 4 sinb), 0 < a < b < 1    \)           }, {a, b}]      

{6.85687, {a -> 0.371464, b -> 0.472541}}

dodonaomikiki

忽然，胡思乱想起来！
想到王虹的摆针问题~~~~~~~与其类似，AB摆来摆去，要摆出一种最短线段的情况~~~~~

波斯猫猫

A,B 两点分别在圆 x^2+y^2=36 和 (x-16)^2+y^2=16 上，连线 AB 通过 C(9,2)，求 minAB.
A,B 两点分别在圆 (x+8)^2+y^2=36 和 (x-8)^2+y^2=16 上，连线 AB 通过 C(1,2)，求 minAB.
平移下坐标系，可能会降低运算量。

dodonaomikiki

王守恩 发表于 2026-9-11 11:45
过A,B的切线交于P,  PC⊥AB。

我尽量尝试一哈