下面所谓的不定式方程求解，原则是关于2^N的解

cuikun-186

下面所谓的不定式方程求解，原则是关于2^N的解

X^m+Y^n=Z^p

方程：X^m + Y^n = Z^p

思路：让 X^m 和 Y^n 等于同一个 2 的幂次

令 X=2^a，Y=2^b

则 X^m = 2^(a*m)，Y^n = 2^(b*n)

取 a*m = b*n = s

左边 = 2^s + 2^s = 2^(s+1)

要求 s+1 能被 p 整除，设 s+1 = p*c

则 Z = 2^c

举例：X^3 + Y^5 = Z^4

m=3，n=5，p=4

找 a,b 满足 3*a =5*b

取 a=5，b=3

s = 3*5 = 15

s+1 = 16

16 /4 =4，c=4

X=2^5=32

Y=2^3=8

Z=2^4=16

验算

32^3 = 2^15

8^5 = 2^15

2^15 + 2^15 = 2^16

16^4 = 2^16

32^3 + 8^5 = 16^4

当然也有不成立的：X^2 + Y^3 = Z^4
m=2,n=3,p=4
2a=3b，取 a=3,b=2
s=2*3=6
s+1=7，7 不能被 4 整除，这套 2 的幂构造法得不到解


换一组可行的：X^5 + Y^9 = Z^7
m=5,n=9,p=7
5a=9b，取 a=9,b=5
s=5*9=45
s+1=46
46 除以 7 余 4，不行


再换可行：X^5 + Y^3 = Z^4

m=5,n=3,p=4

5a=3b，取 a=3,b=5

s=5*3=15

s+1=16

16/4=4，c=4

X=2^3=8
Y=2^5=32
Z=2^4=16

验算
8^5 = 2^15
32^3 = 2^15
2^15+2^15=2^16
16^4=2^16
8^5 + 32^3 = 16^4

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崔坤的2^n法，是针对 X^n+Y^m=Z^c 非常高效的2幂基底解构造法：

几乎任意一组(n,m,c)，都能通过指数公倍数匹配，构造出一组全为2的幂的正整数解；仅少数被证明无解的指数特例除外，且这类解一般不是互素本原解。