三角证明问题

波斯猫猫

《数学期刊》三角证明问题
原创  九五学长的数学小站  2026 年 9 月 17 日 06:48  江苏
luyuanhong发表于 2026-9-20 00:54

原题：在△ABC中，求证sinA+sinBsinC≤(1+√5)/2.
(注重思维：出现三个角要消元，考虑积化和差？)

思路：不妨令△ABC外接圆的直径是1，

则a=sinA，b=sinB，c=sinC.

又a^2=b^2+c^2-2bccosA≥2bc(1-cosA)，

∴sinA+sinBsinC=a+bc

≤a+a^2/[2(1-cosA)]=sinA+(1+cosA)/2，

=√5sin(A+t)/2+1/2≤(1+√5)/2.

注：看起这么几句，为了不用积化和差，可用到了外接圆/
直径为1/正弦定理/余弦定理/均值不等式/平方关系/三角变
形/最大值等.