破解四十余年数学谜题！中国科学家成功证明“a-函数”有界性

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破解四十余年数学谜题！中国科学家成功证明“a-函数”有界性

原创  科创中国  2026 年 9 月 26 日 15:31  北京

近日，上海师范大学数理学院陈晓煜副教授与湖南大学胡泓昇副教授合作，在卡兹丹–卢斯蒂格（Kazhdan–Lusztig，KL）理论领域取得重要进展。相关成果被国际数学界公认的四大数学期刊之一《数学新进展》正式接受，并于 9 月 23 日正式在线发表。这是上海师范大学建校以来首篇数学四大顶刊论文，实现了学校的历史性突破。


陈晓煜。图片来源：上海师范大学

Kazhdan–Lusztig 理论由著名数学家 David Kazhdan 和 George Lusztig 于 1979 年创立，是研究代数群与李代数表示中模分解深层结构的重要组合理论。

Coxeter 群是刻画对称性的一类重要群，n 个文字的对称群是典型例子。在该理论中，Coxeter 群的胞腔分解是一个核心概念，编码了 Hecke 代数表示以及旗流形几何结构中的重要信息。1985 年，Lusztig 引入 a-函数，该函数是研究胞腔分解、Hecke 代数表示及 Lusztig 基环的重要工具。

长期以来，有限秩 Coxeter 群的 a-函数是否有界，一直是该领域悬而未决的基本问题。

陈晓煜与胡泓昇对这一问题给出了肯定回答。Lusztig 已证明，a-函数的有界性等价于 Hecke 代数标准基的结构常数次数具有一致上界。因此，问题的关键转化为证明这些结构常数的次数一致有界。

为此，他们创造性地引入“相交集”概念，并证明两个核心结论：其一，任意两个标准基元素乘积的展开式中，每一项都对应一个相交集；其二，所有相交集的大小具有统一上界。其中，第一个结论是整个证明中最具挑战性的部分，需要建立精细的归纳框架；第二个结论则可借助 Ramsey 定理和基本线性代数证明。由此，他们证明了 Hecke 代数标准基结构常数次数具有一致上界，进而得到 a-函数的有界性。

据了解，Hecke 代数的许多重要性质都可由 a-函数的有界性直接推出，例如在等参情形下，Lusztig 的 15 个猜想（P1–P15）成立，Lusztig 基环也因此具有良好定义。该工作解决了 Kazhdan–Lusztig 理论中长期悬而未决的基本问题，对提升该校数学学科国际影响力具有重要意义。

来源：科技日报（作者 王春）

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