他是张寿武和张伟的学生，数学顶刊 Invent Math 发表了其关于 Kudla 猜想的突破性成果

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他是张寿武和张伟的学生，数学顶刊 Invent Math 发表了其关于 Kudla 猜想的突破性成果

原创  数学家  数学家  2026 年 9 月 5 日 00:00  北京



Ryan C. Chen ，华裔青年数学家。2015 年至 2019 年就读于普林斯顿大学，获数学学士学位（summa cum laude），本科毕业论文导师为张寿武教授。2019 年至 2020 年在剑桥大学丘吉尔学院攻读数学硕士（Part III）。2020 年至 2025 年在麻省理工学院攻读博士学位，师从张伟教授。2025 年获 Clay 研究学者，2026 年起在普林斯顿大学任职。主要研究领域为数论与算术几何。除本系列工作外，他还与合作者在随机矩阵理论、L 函数的矩等问题上有所贡献。

2026 年 9 月，国际数学“四大”顶刊 Inventiones mathematicae 正式接受发表了麻省理工学院博士、普林斯顿大学博士后 Ryan C. Chen 的独作论文“Co-rank 1 arithmetic Siegel–Weil I : local non-Archimedean”。这是作者四篇系列论文中的第一篇，该系列工作证明了 Kudla 纲领中一个长期未解的核心猜想，即算术 Siegel–Weil 公式在“余秩 1”情形下的完整成立。

Kudla 纲领由美国科学院院士 Stephen Kudla 于上世纪 90 年代提出，旨在揭示代数几何中“特殊 cycle”的算术交点与数论中 Eisenstein 级数导数之间的深刻联系。这一纲领被视为现代数论与算术几何交叉领域的核心方向之一，此前仅在低维情形，如模曲线和四元数 Shimura 曲线，得到完整证明。Chen 的工作首次将这一公式推广到任意高维的酉群 Shimura 簇，是 Kudla 纲领提出三十余年来最为重要的进展之一。

一个持续两百年的数学故事

1801 年，年仅二十四岁的高斯在《算术研究》中写下了一个优美而深刻的定理：每一个正整数都可以表示为四个平方数之和。这个看似初等的结论，实际上打开了一扇通向现代数学核心问题的大门。它追问的不仅是某个数能不能被表示，而是有多少种方式可以被表示，也就是一个计数问题。如果固定一个正整数 n ，我们想要知道有多少组整数 (x1,x2,x3,x4) 满足 x1^2+x2^2+x#^2+x4^2=n 。高斯定理保证了至少有一种，但具体有多少种，则需要更精细的工具来回答。

这个工具就是“theta 级数”。想象一下，把所有的计数结果，即每个整数被表示为平方和的种数，打包成一个无穷级数，每一项的系数恰好就是那个计数结果。数学家们发现，这个 theta 级数具有极其优美的变换性质：它在某种对称操作下几乎保持不变。正是利用这种对称性，人们可以推导出关于表示数的精确公式。两百年来，这个从计数出发的思路不断被推广和深化，最终发展出了数论中一套庞大的理论体系。

到了二十世纪中叶，Weil 等人将高斯的思想提升到了一个全新的高度。他们发现，theta 级数的特殊值，也就是在某一个特定参数处取值，恰好等于另一种称为 Eisenstein 级数的函数的特殊值。Eisenstein 级数是数论中另一类极其重要的对象，它们与 L 函数密切相关，而 L 函数正是现代数论（如黎曼猜想、BSD 猜想）的核心研究对象。这个发现被称为 Siegel–Weil 公式。它建立了计数与解析函数特殊值之间的深刻联系。

然而，数学家们并不满足于计数。他们还想要研究几何，具体来说，是研究代数几何中那些由方程定义的空间，以及这些空间中子对象之间的交点。能否将 Siegel–Weil 公式从计数提升到几何交点的层面？这个问题在上世纪九十年代由 Kudla 明确提出，并由此开启了一场持续至今的数学探索。

Kudla 纲领：用 Eisenstein 级数测量几何

Stephen Kudla 是芝加哥大学数学教授、美国科学院院士。他在上世纪九十年代提出了一系列大胆的猜想，其核心思想可以这样理解：Eisenstein 级数的导数，也就是变化率，编码了几何空间中某些特殊子空间的交点信息。

这里的几何空间并非我们日常生活中的三维空间，而是一类称为“Shimura 簇”的高维抽象空间。Shimura 簇可以理解为模空间的高维推广。就像模曲线参数化椭圆曲线，即所有椭圆曲线构成一个一维空间，Shimura 簇参数化更复杂的代数结构。在这些 Shimura 簇上，存在一类非常特别的子空间，它们由某些额外的对称条件所定义，被称为“特殊 cycle ”（Kudla–Rapoport special cycles）。

“cycle”这个词在代数几何中有精确的含义，它大致可以理解为某种代数子空间的有限线性组合。低维的 cycle 就是点或曲线，高维的 cycle 则是曲面或更高维的子空间。特殊 cycle 之所以特殊，是因为它们不是任意选取的子空间，而是由模空间中额外的算术结构自然决定的。

Kudla 猜想的核心内容是：这些特殊 cycle 之间的交点，也就是它们在空间中相遇的方式和次数，可以用 Eisenstein 级数在特定点处的导数值来精确计算。更具体地说，考虑一个 Eisenstein 级数的傅里叶展开，对应于某个矩阵的傅里叶系数。Kudla 预言：这个傅里叶系数在某个参数（记为 s ）处的导数，等于所有属于这个的特殊 cycle 的算术交点之和。

如果这个猜想成立，那就意味着数论中最深刻的函数（Eisenstein 级数、L 函数）与代数几何中最优美的对象（Shimura 簇、特殊 cycle）之间存在着一种惊人的一一对应。这种对应关系不仅是两个数学分支之间的桥梁，更提供了一种全新的数学语言，让“数”的语言和“形”的语言可以在同一套框架下对话。

Kudla 纲领提出后，在低维情形取得了重要进展。对于模曲线（可以理解为最简单的 Shimura 簇，复杂维度为 1 ）和四元数 Shimura 曲线，Kudla 、Rapoport 和 Yang 等人证明了完整的算术 Siegel–Weil 公式。但对于高维的 Shimura 簇，这个问题长期以来进展缓慢，主要障碍在于高维特殊 cycle 的交点理论远比一维情形复杂，涉及更精细的算术不变量如“高度”，而不仅仅是“度数”。

Chen 的工作：从 0 到 1

作者的博士论文由四篇系列论文组成，其中第一篇发表在 Inventiones mathematicae 上。这四篇论文共同证明了 Kudla 纲领中算术 Siegel–Weil 公式的一个关键情形，即所谓“余秩 1 ”（co-rank 1）的情形。

要理解“余秩 1 ”的含义，需要先了解矩阵的“秩”（rank）概念。在 Kudla 纲领的形式化表述中，特殊 cycle 由一个 Hermite 矩阵 T 来标记。这个矩阵的秩 r 决定了对应特殊 cycle 的维度：如果 T 是 n×n 的满秩矩阵（秩等于 n ），那么对应的特殊 cycle 是 0 维的，即一些孤立的点，称为“0-cycle”；如果 T 的秩为 n-1 ，恰好比满秩少 1 ，那么对应的特殊 cycle 是 1 维的，即一些曲线，称为“1-cycle”。“余秩 1 ”就是指的秩比满秩少 1 的情形。

此前，数学家们已经基本解决了 0-cycle 的情形。Li 和 Zhang 、Li 和 Liu 等人证明了：在非阿基米德局部情形（即素数处）下，0-cycle 的“度数”（degree ，即点的个数，按重数计数）等于某个局部 Whittaker 函数在中心点处的导数。Whittaker 函数是 Eisenstein 级数傅里叶系数的局部因子，在数论中扮演着类似原子的角色，因为全局的傅里叶系数可以分解为所有局部 Whittaker 函数的乘积。

但 1-cycle 的情形要困难得多。原因在于，1-cycle 不是孤立的点，而是曲线。测量曲线的算术复杂度需要用到“高度”（height）这一概念。Faltings 高度是算术几何中一个极为深刻的几何不变量，由 1986 年菲尔兹奖得主 Faltings 引入。粗略地说，一个算术曲面的 Faltings 高度衡量了该曲面在算术意义上的大小。在 Kudla 纲领的 1-cycle 情形中，公式右边出现的不是简单的度数，而是更复杂的高度项。

作者的工作正是将前人的成果从 0-cycle 推进到 1-cycle 。他的算术 Siegel–Weil 公式表明：1-cycle 的算术高度贡献被编码在 Eisenstein 级数傅里叶系数的近中心导数之中。这里的“近中心”指的是 s=1/2 而不是 s=0 。s=0 是 Eisenstein 级数的中心对称点，而 s=1/2 则不是。这意味着作者的结果涉及的是 Eisenstein 级数在非中心点处的行为，这在数学上更为复杂，因为中心点处有更丰富的对称结构可以利用。

无处不在的“极限”

作者工作的核心创新是一种他称为“局部极限方法”的策略。这个方法的精妙之处在于，它同时在 Eisenstein 级数的分析侧和 Shimura 簇的几何侧使用“取极限”的操作，然后在极限处将两者联系起来。

在分析侧，作者考虑一个 n×n 的矩阵，它由一个 1×1 的“小块”和一个 (n-1)×(n-1) 的矩阵对角拼接而成。当参数 t 在 p 进拓扑下趋近于 0 时，矩阵的秩从 n 降为 n-1 。他证明了一个关键的极限公式：在这个极限过程中，对应于 T（秩 n ）的 Whittaker 函数在中心点 s=0 处的导数，加上一个校正项，会趋近于对应于 T '（秩 n-1 ）的 Whittaker 函数在 s=-1/2 处的导数。

在几何侧，同样的事情发生了。当 t 趋近于 0 时，对应于满秩矩阵 T 的 0-cycle 会退化为对应于 T ' 的 1-cycle 的竖直部分（vertical part）。这里的“竖直”和“水平”是算术几何中的一对重要概念：一个特殊 cycle 可以分解为“水平部分”，即在算术曲面上平坦地延伸，和“竖直部分”，即完全落在特征的特殊纤维中。在 0-cycle 退化为 1-cycle 的过程中，0-cycle 的度数极限给出了 1-cycle 竖直部分的局部高度贡献。

这种“两边同时取极限”的策略之所以有效，是因为前人已经证明了（满秩）情形的算术 Siegel–Weil 公式。作者的工作相当于在这个已知结果的基础上取一个极限，从而得到 n-1 阶矩阵（余秩 1 ）情形的公式。在非阿基米德局部情形下，他还需要处理一种特殊情况：当 F/Q 是分裂的（split）且约化是 ordinary 的。在这种情况下，前人的理论并不完全适用，作者在论文的第四节专门发展了分裂情形的准典范提升理论，填补了这一空白。

这个方法的巧妙之处在于，它把证明一个新定理，即 1-cycle 的情形，转化为了计算一个极限，即已知的 0-cycle 情形在参数趋近于 0 时的渐进行为。而极限的计算虽然技术上很复杂，但概念上是可操作的。作者的论文中有大量的技术性引理，从局部密度的 Cho–Yamauchi 公式到 Rapoport–Zink 空间上的导出张量积计算，所有这些都服务于同一个目标：精确地计算这个极限。

为何重要

作者的工作分为四篇论文，各有分工。第一篇，即发表于 Inventiones mathematicae 的这篇，处理所有非阿基米德局部情形，包括惰性、分歧和分裂三种情况。第二篇处理阿基米德局部情形，即实数域和复数域的情形。第三篇处理从局部几何到整体几何的过渡，这涉及如何将全局 Shimura 簇上的交点信息分解为各个局部 Rapoport–Zink 空间上的局部贡献。第四篇处理从局部分析到整体分析的过渡，最终拼凑出完整的全局定理。

这种“局部到整体”的策略是算术几何中的标准方法：一个全局的几何对象（定义在整数环上的 Shimura 簇）在每一个素数处都有一个“局部模型”，称为 Rapoport–Zink 空间。全局的交点信息可以分解为所有局部交点信息之和。因此，如果能在每一个局部位置证明相应的局部定理，就能拼凑出全局定理。作者的四篇论文正是按照这个逻辑组织的：前两篇证明所有局部位置的定理，后两篇将这些局部定理拼凑成全局定理。

这项工作的重要性可以从几个层面来理解。

在数学内部，它解决了 Kudla 纲领中一个长期开放的核心问题，将算术 Siegel–Weil 公式从低维推广到了任意高维的酉群 Shimura 簇。这是一个质的飞跃，从特例到一般情形的跨越。此前，高维情形下 1-cycle 的算术 Siegel–Weil 公式被视为一个遥不可及的目标，作者的工作第一次给出了完整的证明。

在方法论上，它引入的“局部极限方法”具有广泛的适用性。正如作者在论文中所指出的，这种极限方法在阿基米德和非阿基米德情形下都起作用，这表明它可能是某种更一般的数学现象的特例。事实上，类似的极限方法在相关领域，如随机矩阵理论中特征值分布的边缘极限，也有出现，暗示着某种更深层的统一性。

在更广阔的数学图景中，Kudla 纲领与 Langlands 纲领，即那个被视为“数学大一统理论”的宏大框架，有着千丝万缕的联系。Gross–Zagier 公式，1986 年发表于 Inventiones mathematicae ，是算术几何中最著名的结果之一，本质上就是 Kudla 纲领在椭圆曲线情形下的一个特例。因此，将 Kudla 纲领推广到更高维度，也就是在更一般的情形下建立了 Gross–Zagier 类型的公式。这对于理解 L 函数的导数与代数几何不变量之间的关系具有根本性的意义。

对于刚刚入门的读者来说，这项工作的意义可以用一个类比来理解：如果说 Eisenstein 级数是数论世界中的“光谱”，每一种频率对应一个傅里叶系数；那么特殊 cycle 就是几何世界中的“物质”分布。Kudla 纲领断言，光谱的“变化率”，即导数，精确地反映了“物质”的“质量”，即算术交点。作者的工作将这个断言从一维的情形推广到了任意高维，从分析一条线变成了分析整个空间。

这项工作的发表标志着 Kudla 纲领在高维情形下的重大突破。它也展示了当代数学研究的一个典型特征：最深刻的结果往往不是来自全新的概念，而是来自巧妙地将已知的局部结果通过某种“极限”或“拼凑”的方法组合成全新的整体。在这个意义上，作者的工作不仅是一个结论的证明，更是一种数学智慧的典范，它教会我们如何在看似各自独立的局部现象之间找到联系，并从中揭示出整体的结构。

来源｜Invent Math 及网络公开报道

撰文｜数学家编译小组

排版｜司徒

校对｜慧玲

责编｜燕北平