有 150 年历史的数论 Sylvester 猜想被中国数学家完全证明（山大教授作出重大贡献）

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有 150 年历史的数论 Sylvester 猜想被中国数学家完全证明（山大教授作出重大贡献）

原创  亦慈亦让  亦慈亦让  2026 年 10 月 3 日 09:04  广东

Sylvester 猜想的历史及内容

Sylvester 猜想最早可以追溯到丢番图、费马和欧拉对不定方程的研究。

1879 年，Sylvester 在研究三元三次方程时，正式提出了那个后来以他命名的著名猜想：每个模 9 余 4 、7 或 8 的素数，都应该是两个有理数的立方和。

Sylvester 猜想的意义

Sylvester 猜想在数论领域相当重要。它不仅是一个悬置近 150 年的经典难题，更关键的是，它像一座桥梁，将古老的“立方和”问题与现代数论的核心理论—— BSD 猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想）紧密地连接在了一起。

1951 年，Selmer 发表了长达 160 页的巨著，系统研究了三元三次方程。他不仅证明了这些椭圆曲线的代数秩上界为 1 ，也为猜想提供了重要证据。1966 年，Birch 和 Stephan 基于椭圆曲线根数的计算，正式将这个猜想表述为一个关于特定素数同余类的预测。而真正深刻的转变发生在 20 世纪 60 年代：Birch 和 Swinnerton-Dyer 在研究这批椭圆曲线时，提出了著名的 BSD 猜想，将“立方和”问题与现代数论的核心难题——椭圆曲线的秩与 L 函数——彻底绑定。由此，Sylvester 猜想被赋予了新的意义：它成了 BSD 猜想的一个绝佳“试验场”。

证明 Sylvester 猜想，实质上就是在验证 BSD 猜想在一类具体且重要的椭圆曲线族上的正确性。

Sylvester 猜想的证明历程

Sylvester 猜想长期吸引顶尖数学家：从 Selmer 、Birch 到 Elkies ，众多大家投身其中。

Elkies 在 1994 年宣布证明了 Sylvester 猜想，但未发表细节，留下了著名的“悬案”，使得完整证明的给出更具学术价值。

Elkies 是当代数学界一位极具传奇色彩的人物。他不仅是哈佛大学历史上最年轻的终身教授之一，更是一位横跨数学、音乐与国际象棋多个领域的“天才型”学者。在 Sylvester 猜想的故事中，他扮演了那个宣布证明却从未发表细节的“悬案”主角。

Elkies 的学术履历堪称耀眼。他 1966 年出生于纽约，1981 年（年仅 14 岁）就以满分成绩获得国际数学奥林匹克金牌。在哥伦比亚大学读本科期间，他三次获得普特南数学竞赛最高奖，并在 16 岁时成为该竞赛历史上最年轻的获奖者之一。1987 年，他在哈佛大学获得博士学位，导师是 Barry Mazur 和 Benedict Gross ，其博士论文解决了“给定椭圆曲线在数域上有无穷多个超奇异素数”的问题。1993 年，他晋升为哈佛大学正教授，当时年仅 26 岁（一说 27 岁），创下了哈佛最年轻正教授的纪录。

多年后，数学家 Dasgupta 和 Voight 曾试图根据 Elkies 的提纲发展出完整证明，但只能在附加一个“三次剩余假设”的条件下成功。

Samit Dasgupta 是杜克大学数学教授，研究领域为代数数论，尤其关注数域中单位的显式构造、阿贝尔簇上的有理点，以及 L 函数特殊值与这些对象之间的关系。Samit Dasgupta 1999 年于哈佛大学获得学士学位，2004 年在加州大学伯克利分校获得博士学位，导师为 Ken Ribet 和 Henri Darmon 。曾任职于哈佛大学（Benjamin Peirce 助理教授）和 UC Santa Cruz ，2018 年起任杜克大学教授。

John Voight 2005 年在加州大学伯克利分校获得博士学位。曾任职于佛蒙特大学和达特茅斯学院，2024 年 8 月起在悉尼大学任教授。他的研究兴趣集中在数论的计算与算法方面，包括椭圆曲线、四元数代数、模形式及其计算实现。他是 Magma 计算机代数系统开发团队的核心成员之一，主导了相关研究小组的工作。

Dasgupta 与 John Voight 合作，在“模拟 Heegner 点”（mock Heegner points） 框架下对 Sylvester 猜想做出了重要推进。

Dasgupta 和 Voight 的工作代表了 Sylvester 猜想研究中的一个重要转折：从传统的下降法转向利用 Heegner 点的构造性方法。

山大尹洪波证明了该猜想 2/3 的情形

2026 年 5 月，山大尹洪波教授在预印本平台发布了论文《A proof of the 4,7 cases of Sylvester's conjecture on cube sums》，该工作证明了每个模 9 余 4 或 7 的素数都可表示为两个有理数立方和，解决了这一有近 150 年历史猜想中 2/3 的情形。尹洪波教授证明 Sylvester 猜想中模 9 余 4 和 7 的情形，其意义远不止于解决一个古老的数论难题。它被视为现代算术几何工具攻克经典数论问题的典范，并实质性地推动了相关领域的发展。

尹洪波教授本硕博均就读于山东大学。

中科院院士田野证明了该猜想 1/3 的情形

2026 年 9 月，中科院院士田野和德克萨斯大学奥斯汀分校助理教授 Ashay Burungale 在预印本平台发布了论文《A proof of Sylvester's conjecture》，完成了 Sylvester 猜想的最终证明，解决了剩余的情形。

至此，有 150 年历史的 Sylvester 猜想被完全证明。

亦慈亦让