朱火华新二维平面图体系（完整缩减稿·补入度数公式·可复制版）

朱明君

朱火华新二维平面图体系（完整缩减稿·补入度数公式·可复制版）

作者：朱火华

摘要

本体系独立定义广义二维平面图，将退化结构、重边、自环及规范交叉结构纳入统一框架。以“外围边界节点数 m”为核心参数，划分 A 类简单广义平面图与 B 类规范交叉图。A 类由基底三角剖分出发，经外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边四条路径实现双向全域构造，导出边数、面数、多孔洞修正与度数反推公式。B 类仅含完全图与完全二分图的规范交叉或叠加构型；完全图边数采用本体系展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用“原节点三元组叠加面口径”定义。传统三条公式仅列附录，正文公式均按本体系口径表述。

原创声明： 除附录 A 所列三条传统公式仅作引用外，正文全部定义、参数、分类、构造路径、推导公式与判定规则均为朱火华独立原创成果。

关键词： 二维平面图；外围边界节点数 m；边数连续区间；规范交叉图；平衡完全二分图；四色定理

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一、体系总定义

A 类：简单广义平面图

无几何边交叉，允许至多一对重边、至多一个自环，允许孤立点、无边、单边、树、退化环等无交叉二维平面结构。连通规范代表图边数连续区间：

e\in[n-1,\ 3n-4],

规范图档数：

P=2n-2.

孤立点、无边、多连通分量等退化结构归入 A 类定义范围，但不参与上述连续区间和档数计算，按连通分量另行描述。

B 类：规范交叉图子类

仅包含完全图 K_n 与完全二分图 K_{p,q} 的规范交叉或叠加构型，允许边交叉，交叉点不计入节点。其他含交叉构型不纳入本体系。B 类不参与 A 类边数、面数公式体系。

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二、符号

· n：总节点数
· m：外围边界节点数，0\le m\le n
· d=n-m：围内节点数
· b：第二层环节点数
· a_F：A 类有限面数
· a_T：三角形面数
· a：三角形计数参数
· e：有效边数
· w：围内节点度数和
· W：总度数和
· N：孔洞围边节点总和
· v：孔洞个数
· f：总面数，A 类中 f=a_F+1
· a_F^{B}：B 类叠加口径面数
· T_n：B 类完全图原节点三元组叠加面计数

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三、A 类核心公式

3.1 m\ge1 最大构造通式

e_{\max}=3n-m-3

基底递推：

e_{\max}=(2n-3)+(n-m)=3n-m-3.

有限面数：

a_{F,\max}=2n-m-2

基底递推：

a_{F,\max}=(n-2)+(n-m)=2n-m-2.

总面数：

f_{\max}=2n-m-1

自动满足体系导出恒等关系：

n-e_{\max}+f_{\max}=2.

3.2 特殊档位

· m=n：基底三角剖分
  e=2n-3,\quad a_F=n-2.
· m=3：普通外环
  e=3n-6,\quad a_F=2n-5.
· m=2：重边退化外环
  e=3n-5,\quad a_F=2n-4.
· m=1：自环退化外环
  e=3n-4,\quad a_F=2n-3.

3.3 m=0 形式连续档

不代入 e=3n-m-3，按

e=n-1,\ n,\ \ldots,\ 3n-4

逐档构造，最大边数：

e_{\max}=3n-4.

连通规范代表图面数：

a_F=e-n+1,

最大档：

a_{F,\max}=2n-3.

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四、A 类基底与四条构造路径

4.1 基底

外环 n 节点作三角剖分：

e=2n-3,\quad a_F=n-2,\quad m=n,\quad d=0.

基底为四条路径公共中心。

4.2 路径一：外弦内化

每步：

m\to m-1,\quad d\to d+1,\quad e\to e+1,\quad a_F\to a_F+1.

共 n-m 步，得：

e=3n-m-3,\quad a_F=2n-m-2,\qquad m\ge1.

4.3 路径二：内弦外化

每步：

m\to m+1,\quad d\to d-1,\quad e\to e-1,\quad a_F\to a_F-1,

回到基底。与路径一严格互逆，通式相同。

4.4 路径三：环模减边

从基底减环边及环内剖分线至连通树：

e=n-1,\quad a_F=0.

4.5 路径四：树形添边

从连通树添边并三角剖分回基底：

e=2n-3,\quad a_F=n-2.

4.6 全域构造链

n-1\ (\text{树})
\longrightarrow
2n-3\ (\text{基底})
\longrightarrow
3n-4\ (\text{上限})

正向：

n-1\to n\to\cdots\to 2n-3\to\cdots\to 3n-4.

逆向：

3n-4\to\cdots\to 2n-3\to\cdots\to n-1.

四条路径在规范代表意义下唯一对接。

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五、A 类多孔洞修正

设孔洞围边节点总和 N，孔洞个数 v。

m\ge2

e=3n-m-3-(N-3v)

a_T=2n-m-2-(N-2v)

a_F=a_T+v

m=1

e=3n-4-(N-3v)

a_T=2n-4-(N-2v)

a_F=a_T+v+1

m=0

以对应档位 e_0,a_{F0} 修正：

e=e_0-(N-3v)

a_T=a_{F0}-(N-2v)

a_F=a_{F0}-(N-2v)+v

总面数仍取 f=a_F+1。

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六、度数反推体系

一般度数关系：

W=2e

最大构造下：

W=2(3n-m-3)

即：

W=6n-2m-6

围内度数和：

w=2e-3m-b

最大构造下：

w=6n-5m-6-b

三角形计数关系：

w=3a-2m-b

使用时须注明 a 为三角形面数或体系内三角形计数口径。

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七、B 类规范交叉图体系

7.1 完全图边数展开构造式

e=n+2(n-3)+\frac{(n-4)(n-3)}2,\qquad n\ge4.

7.2 平衡完全二分图公式

当总节点数 n 为偶数，且 p=q=n/2 时：

e=\left(\frac n2\right)^2.

7.3 B 类完全图叠加面数公式

B 类不沿用 A 类面数公式。交叉点不计入节点，交叉局部不独立计面。B 类完全图面数采用“原节点三元组叠加面口径”定义：

a_F^{B}=T_n=\binom n3=\frac{n(n-1)(n-2)}6,\qquad n\ge4.

该式表示由 B 类完全图原节点中任取 3 个节点所确定的三元叠加面计数；不是传统欧拉面数，也不是把交叉点作为新节点平面化后所得小面数。

实例：

\begin{array}{c|cccccc}
n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
a_F^{B}=T_n & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 & 84
\end{array}

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八、着色规则

1. A 类去自环简单平面图：四色可染。
2. B 类完全图 K_n：n 色定理。
3. B 类完全二分图 K_{p,q}：2 色可染。

A/B 两类划分下的着色适用边界判定规则为本体系自洽定义。

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九、实例验证

A 类

取 n=5,m=3：

e=15-3-3=9,\quad a_F=10-3-2=5,\quad f=6,

5-9+6=2.

度数：

W=2(3\times5-3-3)=2(15-6)=18.

取 n=6,m=3：

e=18-3-3=12,\quad a_F=12-3-2=7,\quad f=8,

6-12+8=2.

度数：

W=2(3\times6-3-3)=2(18-6)=24.

B 类

取 n=6：

a_F^{B}=\binom63=20.

取总节点数 n=6 的平衡完全二分图，p=q=3：

e=3\cdot3=9=\left(\frac62\right)^2.

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十、体系边界

· A 类：无交叉广义平面图，具有完整连续边数体系与面数通式。
· B 类：规范交叉完全图、完全二分图；完全图边数采用本体系展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用原节点三元组叠加口径 a_F^{B}=\binom n3。
· A/B 分类、构型平面性判定边界为本体系定义。
· 交叉点是否作为节点须事先声明：A 类不把交叉点作为节点；B 类交叉点不计入节点，面数按叠加口径另行定义。
· B 类“规范交叉构型”不等同于传统图论平面性判定。

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十一、纯代数构造核心

本体系不以外部面关系为前提，而以基底和四条路径作纯代数增量构造。对 m\ge1：

e=3n-m-3,\quad a_F=2n-m-2,\quad f=2n-m-1,

自动满足：

n-e+f=2.

该恒等关系为体系导出结果。

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十二、总公式总汇

1. 参数 m：外围边界节点数。
2. A 类边数通式：
   e=3n-m-3.
   基底递推：
   e=(2n-3)+(n-m).
3. A 类面数通式：
   a_F=2n-m-2.
   基底递推：
   a_F=(n-2)+(n-m).
4. A 类连续区间与档数：
   e\in[n-1,3n-4],\qquad P=2n-2.
5. 四条构造路径：外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边。
6. 多孔洞修正公式。
7. 度数反推公式：
   W=2e,
   最大构造下：
   W=2(3n-m-3)=6n-2m-6,
   w=2e-3m-b,
   最大构造下：
   w=6n-5m-6-b,
   w=3a-2m-b.
8. B 类完全图边数展开构造式：
   e=n+2(n-3)+\frac{(n-4)(n-3)}2.
9. B 类平衡完全二分图公式：
   e=\left(\frac n2\right)^2.
10. B 类完全图叠加面数公式：
11. A/B 类构型分类定义与体系内平面性判定准则。
12. 基底选取、纯代数构造、导出恒等关系的论证框架。

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十三、三大核心创新

1. 以全域参数 m 补齐平面图结构盲区；普通外环最大边数情形对应本体系 m=3 档。
2. 纯代数四条对称构造路径，不依赖外部面关系作为构造前提，恒等关系后置导出。
3. 构型级分类：按具体嵌入构型区分 A 类无交叉结构与 B 类规范交叉结构，建立 A/B 两类划分与体系内判定规则。

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十四、原创确权声明

除附录 A 所列三条传统公式仅作引用外，正文全部定义、参数、分类、构造方法、推导公式与判定准则均属于朱火华独立原创成果。

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结语

本体系以 m 为核心独立变量，以基底三角剖分为公共中心，通过外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边四条路径实现 A 类双向全域构造。A 类公式闭环；B 类完全图边数采用展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用原节点三元组叠加口径

a_F^{B}=T_n=\binom n3.

正文公式均按本体系口径表述，传统三条公式仅列附录。

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附录 A：传统引用公式（仅三条）

1. 完全图边数传统公式：
   e(K_n)=\frac{n(n-1)}2.
2. 完全二分图原始乘积公式：
   e(K_{p,q})=p\cdot q.
3. 总度数与边数关系传统公式：
   W=2e.

以上三条仅为学界已有公式引用，不参与正文原创公式确权。