朱火华新二维平面图体系

朱明君

朱火华新二维平面图体系

作者：朱火华

摘要

本文独立定义广义二维平面图，引入外围边界节点数 m，划分为A类无交叉广义平面图、B类规范交叉图。A类以基底三角剖分为中心，通过四条双向构造路径，得到边数、面数、孔洞修正、度数反推整套公式；B类针对n节点全连接交叉图、平衡双部交叉图建立专属构造公式，全连接交叉图面数采用原节点三元组叠加口径。全部定义、参数、构造与判定规则为独立原创。

关键词：二维平面图；外围边界节点数 m；规范交叉图；平衡双部交叉图；着色规则

一、体系定义

A类（简单广义平面图）：无边交叉，可含重边、自环、退化环。连通图边数区间
e ∈ [n - 1, 3n - 4]

B类（规范交叉图子类）：包含n节点全连接交叉图、p,q双部交叉图叠加构型，边可交叉，交叉点不算节点，独立于A类公式体系。

二、符号

n：总节点数；m：外围边界节点数；d = n - m：围内节点数；b：第二层环节点数；e：边数；a_F：A类有限面数；a_T：三角形面数；a：三角形计数参数；W：总度数；w：围内节点度数和；N：孔洞围边节点总和；v：孔洞个数；f：总面数，A类 f = a_F + 1；a_F^B：B类叠加口径面数。

三、A类核心公式

m ≥ 1 最大构造通式
e_max = 3n - m - 3
a_F,max = 2n - m - 2
f_max = 2n - m - 1
满足恒等式：
n - e_max + f_max = 2

特殊档位

m = n（基底三角剖分）：e = 2n - 3，a_F = n - 2
m = 3（普通外环）：e = 3n - 6，a_F = 2n - 5
m = 2（重边外环）：e = 3n - 5，a_F = 2n - 4
m = 1（自环外环）：e = 3n - 4，a_F = 2n - 3

m = 0 形式连续档，边数范围 e = n - 1, ..., 3n - 4，a_F = e - n + 1

四、A类构造路径

基底：外环n节点三角剖分 e = 2n - 3，a_F = n - 2，m = n

1. 外弦内化：m减小，围内节点、边、面同步增加
2. 内弦外化：与外弦内化互逆
3. 环模减边：基底退化为连通树 e = n - 1，a_F = 0
4. 树形添边：连通树逐步添边回到基底

全域构造链：树 → 基底三角剖分 → 上限构型

五、多孔洞修正

m ≥ 2

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)
a_T = 2n - m - 2 - (N - 2v)
a_F = a_T + v

m = 1

e = 3n - 4 - (N - 3v)
a_T = 2n - 4 - (N - 2v)
a_F = a_T + v + 1

六、度数反推

最大构造总度数：W = 2(3n - m - 3)
围内度数和：w = 2e - 3m - b，最大构造 w = 6n - 5m - 6 - b
三角形计数：w = 3a_T - 2m - b

七、B类规范交叉图

n节点全连接交叉图边数展开构造式（n ≥ 4）
e = n + (n - 3) + ((n - 3)(n - 2)) / 2

偶数节点平衡双部交叉图
e = (n / 2)^2

n节点全连接交叉图叠加面口径
a_F^B = C(n,3) = n(n - 1)(n - 2) / 6

八、着色规则

1. A类去自环简单平面图：四级着色可染
2. B类n节点全连接交叉图：n级着色
3. B类双部交叉图：2级着色可染

九、实例

A类 n = 5，m = 3：e = 9，a_F = 5，f = 6，满足 5 - 9 + 6 = 2
A类 n = 6，m = 3：e = 12，a_F = 7，f = 8，满足 6 - 12 + 8 = 2
B类 n = 6，a_F^B = 20；平衡双部交叉图 e = 9

十、体系边界

A类为无交叉广义平面图；B类是规范交叉全连接交叉图、双部交叉图，A/B划分为本体系构型层面定义，交叉构型按本体系构型层面判定，不采用体系外平面判定。

十一、总公式总汇

1. m：外围边界节点数
2. A类：e = 3n - m - 3；a_F = 2n - m - 2
3. A类边数区间 e ∈ [n - 1, 3n - 4]
4. 四条构造路径：外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边
5. 孔洞修正公式
6. 度数公式：最大构造 W = 2(3n - m - 3)，w = 2e - 3m - b，w = 3a_T - 2m - b
7. B类n节点全连接交叉图边数：e = n + (n - 3) + ((n - 3)(n - 2)) / 2
8. B类平衡双部交叉图：e = (n / 2)^2
9. B类叠加面：a_F^B = C(n,3) = n(n - 1)(n - 2) / 6

十二、核心创新

1. 参数 m 刻画外环边界，统一包含退化构型，普通外环只是 m = 3 特例
2. 四条对称双向构造路径，纯代数增量构造，恒等式后置导出
3. 构型层面区分无交叉A类与交叉B类，建立独立判定体系

原创确权声明

正文全部定义、参数、构造方法、推导公式与判定规则均属于朱火华独立原创成果。