康托尔对角线方法的自相矛盾

门外汉

康托尔的对角线方法，堪称神来之笔，巧夺天工，但这世界上可能没有天衣无缝的事情，再严密的逻辑也难免有令人不易察觉的漏洞。
举两个例子来捅一下对角线方法的漏洞。
例1：全体正整数能全部分布在数轴的正半轴上吗？答案是肯定的：正整数1分布在数轴1点上，正整数2分布在数轴2点上……所有的正整数一个不漏的全都分布在数轴的正半轴上。
例2，按康托尔对角线方法的思路，假设将［0，1］区间的所有实数做一个排列：a1，a2，a3……接下来进行下列操作：将a1分布在数轴上的1点处，a2分布在数轴的2点处，a3分布在数轴的3点处……问：［0，1］区间的所有实数能全部分布在数轴的正半轴上吗？
此问题有两个备选答案，要么是能，要么是不能，但是，无论选哪个答案，都存在天大的错误漏洞。
首先，如果说能，则证明［0，1］区间的所有实数与所有正整数一一对应，则说明［0，1］区间的所有实数是可数的，康托尔对角线方法失效，这是康托尔万万不能接受的结果。
其次，如果说不能，则又出现了一个很严重的问题：数轴的长度不够用了。
什么意思呢？就是说，［0，1］区间的一部分实数把数轴正半轴上的所有整数点位全都占满了，剩下的另一部分实数在数轴上已经没有位置了，那一部分实数如果想在数轴上占位排队，就得将原有的正半轴继续延长，才能有位置可占，否则，这些实数就被排挤出正半轴之外。
这里就出现了矛盾：数轴的正半轴是一条射线，射线是无穷长的，要多长就有多长，既然如此，它又如何能再延长？
而且，数轴的正半轴只能容纳［0，1］区间的一部分实数占位，另一部分无位置可占，这说明数轴的正半轴“不够长”，那它岂不是与射线无限长自相矛盾？既然“不够长”，难道它是有限长的？
胡同里赶驴两头堵，看来康托尔的对角线方法一不小心就钻进了死胡同里转不出来。

门外汉

康托尔的对角线方法完美验证了老春头的“极限可达”观点，老春头顿感欢欣鼓舞！！！

门外汉

按康托尔的对角线方法，实数已超越正整数的极限无穷大，达到它的极限更不在话下，这即为老春头坚持到底的“极限可达”论。

门外汉

用魔法打败魔法：用康托尔对角线法打败希尔伯特无穷旅馆
先设计一个简单的数学模型：在数轴的正半轴的每一个正整数点位上建造一个房间，共无穷个房间，这便是希尔伯特的无穷旅馆。
有一个大巴车，车里有无穷多个客人，每个客人都用正整数一一编号，令1号客人住1号房间，2号客人住2号房间，3号客人住3号房间……，则所有旅客住满所有房间，即，所有正整数编号旅客全部分布到数轴正半轴上。
现在将无穷旅馆所有房间全部清空，进入下一个场景：
又来了1辆大巴车，车里也有无穷多旅客，但这辆大巴车有点特殊，车内的无穷多旅客全都用［0，1］区间的所有实数进行编号，比如某位旅客a1编号为0.3，某位旅a2编号为0.9，某位旅客a3编号为0.85等等。让a1号旅客住1号房间，a2号旅客住2号房间，a3号旅客住3号房间……问：所有旅客都有房间可住吗？
康托尔已经用对角线方法证明：旅客数量多于房间数量，所以仅仅一部分旅客就会住满无穷旅馆，另外无穷多的旅客无房间可住。
这说明什么问题呢？说明数轴正半轴的长度不够长了，另外一些人如果想要住进无穷旅馆，唯一的办法就是将数轴的正半轴再延长一些，多建造一些房间。
但数轴的正半轴是一条射线，射线是可以无限延长的，既然是无限延长的，怎么会出现不够长的情况？又如何能再延长？
换一个说法就是：所有实数旅客排成的队列，要长于所有正整数旅客排成的队列。
这正是用魔法打败魔法，用康托尔打败希尔伯特。