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由循环小数问题引发的新问题

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发表于 2018-5-21 16:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-9 18:25 编辑

已知:1/n 的循环节长度是60位,
问题A:   n 取何值时,1/n 是 对折和 没有互补的循环小数?(此时,有几个具体的 n 值?)
问题B:   n 取何值时,1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数?(此时,有几个具体的 n 值?)


我的另一类 单条件下 的最大循环节猜想

蔡家雄猜想

若 4^(2k)+3 是素数,
则 10 是素数 4^(2k)+3 的原根。
则 1 / [4^(2k)+3] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,6,8,14,42,114,392,852,1004,2030,2276,8610.
已证:2k = 2,6,8,14,42,114 使猜想成立。
未证:2k = 392,852,1004,2030,2276,8610 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k)+4 是素数,
则 10 是素数 5^(2k)+4 的原根。
则 1 / [5^(2k)+4] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,6,10,102,494,794,1326,5242,5446.
已证:2k = 2,6,10,102, 使猜想成立。
未证:2k = 494,794,1326,5242,5446 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k) - 2 是素数,
则 10 是素数 5^(2k) - 2 的原根。
则 1 / [5^(2k) - 2] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,14,26,50,126,144,260,624,1424.
已证:2k = 2,14,26,50,126,144 使猜想成立。
未证:2k = 260,624,1424 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 2^(2k - 1)+15 是素数,
则 10 是素数 2^(2k - 1)+15 的原根。
则 1 / [2^(2k - 1)+15] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k - 1 的值仅有
2k - 1 = 1,3,5,11,15,23,61,155,203,515,1563.
已证:2k - 1 = 1,3,5,11,15,23,61,155,203 使猜想成立。
未证:2k - 1 = 515,1563 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k - 1)+24 是素数,
则 10 是素数 5^(2k - 1)+24 的原根。
则 1 / [5^(2k - 1)+24] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k - 1 的值仅有
2k - 1 = 1,3,21,53,195,353,2067,2191,4563.
已证:2k - 1 = 1,3,21,53 使猜想成立。
未证:2k - 1 = 195,353,2067,2191,4563 使猜想是否成立?


寻找:三边长为连续整数及其面积同为整数的海伦三边形?(此题由王守恩给出完美的双曲函数通式)

如下:它好像是挑战人类的智慧!!!

寻找:四边长为连续整数及其面积同为整数的海伦四边形?(待:探讨)

寻找:五边长为连续整数及其面积同为整数的海伦五边形?(待:探讨)
 楼主| 发表于 2018-6-28 04:31 | 显示全部楼层
兔子数列定理
设 Fn 表示 第n个兔子数,

若 素数p 的个位数字为1或9,
则 F(p -1)   mod   p = 0.

若 素数p 的个位数字为3或7,
则 F(p+1)   mod   p = 0.

佩尔数列定理:
Pn = [(1+√2)^n - (1 - √2)^n]/√8
    = 1,2,5,12,29,70,169,408,......

若 素数n=8k+1或素数n=8k+7,
则 P(n -1)   mod   n = 0.

若 素数n=8k+3或素数n=8k+5,
则 P(n+1)   mod   n = 0.
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 楼主| 发表于 2018-6-14 13:59 | 显示全部楼层
QQ截图20180614092914.png
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 楼主| 发表于 2018-6-11 06:24 | 显示全部楼层
QQ截图20180611062153.png

点评

好!这是好东西!  发表于 2018-6-11 07:55
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发表于 2018-6-7 18:42 | 显示全部楼层
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+(10)^2+(11)^2+(12)^2+(13)^2+(14)^2+(15)^2+(16)^2+(17)^2+(18)^2+(19)^2+(20)^2+(21)^2+(22)^2+(23)^2+(24)^2===70^2
还有多少这样的?

点评

再来几次串。3^2+4^2=5^2 也可以。  发表于 2018-6-8 09:16
很好的想法!支持!  发表于 2018-6-7 19:27
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 楼主| 发表于 2018-6-6 09:53 | 显示全部楼层
是这样理解吗?对于一般的一元5次方程

根据伽罗瓦理论:一般的一元5次方程,没有统一的根式解。

根据风花飘i理论:一般的一元5次方程,存在不同的根式解,但没有统一的根式解。
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发表于 2018-5-22 02:10 | 显示全部楼层
;P;P;P;P;P;P;P;P;P;P
发表于 2018-5-22 06:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-22 11:06 编辑
蔡家雄 发表于 2018-5-21 20:51
循环节长度是1的奇数倒数:1/3, 1/9

循环节长度是2的奇数倒数:1/11, 1/33, 1/99


蔡老弟!借光!我来出道题,但我不会做。
有这样一个循环小数:
0.000...012345678 999...987654321
她的循环节是这样的:
000...012345678  999...987654321
有这样的循环小数吗?



谢谢elim!我好像会了!

点评

注意最后那个数要加1, 12345679/(10^15+1) 而不是 12345678/(10^15+1)  发表于 2018-5-22 07:13
如果只想要 3 个0, 那么它是 12345679/(10^11+1)=0.000123456789998765432100012345678....  发表于 2018-5-22 07:10
当然有。举例来说,你想小数点后先来 7个0,那么它就是 12345678/(10^15+1).  发表于 2018-5-22 07:07
 楼主| 发表于 2018-5-22 07:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-5-27 20:14 编辑

设 n 是奇数,

且 1/n 的循环节长度是 2d,

即  MultiplicativeOrder[10, n] == 2d

若 10^d+1 能被 n 整除,则 1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数。

若 10^d+1 不被 n 整除,则 1/n 是 对折和 没有互补的循环小数。


若 MultiplicativeOrder[10, p] == p - 1,

则 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

如下两个说法,是 等价 的

若 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

若 1/p 具有最大循环节长度,则 10 是 p 的原根。

(原定理与逆定理 同时成立)



论 1/n 具有最大循环节的充要条件:

设 n = 2^a0*p1^a1*p2^a2*p3^a3*......*ps^as + 1,(p 表示奇素数)

设 d 表示为 (n - 1) / 2 的因子,

则 1/n 具有最大循环节的充要条件:

(i)   n 是奇素数;

(ii)  对于任一小于 (n - 1) / 2 的因子d,(10^d+1) 都不能被 n 整除;

(iii) 当且仅当 d = (n - 1) / 2 时,(10^d+1) 能被 n 整除。
发表于 2018-5-22 11:05 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2018-5-22 09:23
1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同,

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同,

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同,

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同,

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同,

求:X = ??????

嗨!!有这样奇妙的数吗?!苛刻一点:最简分数!!!
发表于 2018-5-22 12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-5-21 21:10 编辑
王守恩 发表于 2018-5-21 20:05
1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,


不管 m 是什么正整数,只要它能代表一个长为s的循环节,则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。把它约简一下,就是所要的既约分数。

点评

谢谢elim!假设有这样一个循环节:01020304050607080910......979899 . 她应该有对应的既约分数,把这个数写出来也不是太容易的事,中间的数可以省略不写吗?苯一点我把198位都写出来先试试。  发表于 2018-5-22 15:31
 楼主| 发表于 2018-5-22 12:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-5-24 13:50 编辑

设 1/n 的循环节长度是偶数2d,

有 10^(2d) - 1 能被 n 整除,

则 (10^d - 1) * (10^d+1) 能被 n 整除,

显然,(10^d - 1) 不被 n 整除。

假若 (10^d - 1) 能被 n 整除,则 1/n 的循环节长度是d,不是2d,与题设矛盾。

推出:

若 1/n 的循环节长度是偶数2d,

且 (10^d +1) 能被 n 整除,

则 1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数。
发表于 2018-5-22 14:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-22 14:55 编辑
蔡家雄 发表于 2018-5-22 12:39
b/a 的循环节长度是36位,( b


b/a 的循环节长度是36位,[( b<a )这个条件好像是多余的?]

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同,

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同,

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同,

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同,

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同,

求:a = ?  b = ?

b=47619142857285714476190714286
a=333333666667000000333333666667
不管 m 是什么正整数,只要它能代表一个长为s的循环节,
则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。
把它约简一下,就是所要的既约分数。

点评

b>a 多值 吧?  发表于 2018-5-22 15:01
正确。  发表于 2018-5-22 14:53
发表于 2018-5-22 15:57 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-5-22 06:33
蔡老弟!借光!我来出道题,但我不会做。
有这样一个循环小数:
0.000...012345678 999...987654321
...


循环节:12345678 87654321   即约分数=12345679/100000001
循环节:012345678 987654321   即约分数=12345679/1000000001
循环节:0012345678 9987654321   即约分数=12345679/10000000001
循环节:00012345678 99987654321   即约分数=12345679/100000000001
循环节:000012345678 999987654321   即约分数=12345679/1000000000001

点评

对了! 这就是我那个帖子 19 楼的证明的直接推论。  发表于 2018-5-22 16:21
 楼主| 发表于 2018-5-22 19:22 | 显示全部楼层
设 n 是奇数,

且 1/n 的循环节长度是 2d,

即  MultiplicativeOrder[10, n] == 2d

若 10^d+1 能被 n 整除,则 1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数。

若 10^d+1 不被 n 整除,则 1/n 是 对折和 没有互补的循环小数。


若 MultiplicativeOrder[10, p] == p - 1,

则 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

如下两个说法,是 等价 的

若 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

若 1/p 具有最大循环节长度,则 10 是 p 的原根。

(原定理与逆定理 同时成立)
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