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由循环小数问题引发的新问题

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发表于 2018-5-21 16:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-9 18:25 编辑

已知:1/n 的循环节长度是60位,
问题A:   n 取何值时,1/n 是 对折和 没有互补的循环小数?(此时,有几个具体的 n 值?)
问题B:   n 取何值时,1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数?(此时,有几个具体的 n 值?)


我的另一类 单条件下 的最大循环节猜想

蔡家雄猜想

若 4^(2k)+3 是素数,
则 10 是素数 4^(2k)+3 的原根。
则 1 / [4^(2k)+3] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,6,8,14,42,114,392,852,1004,2030,2276,8610.
已证:2k = 2,6,8,14,42,114 使猜想成立。
未证:2k = 392,852,1004,2030,2276,8610 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k)+4 是素数,
则 10 是素数 5^(2k)+4 的原根。
则 1 / [5^(2k)+4] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,6,10,102,494,794,1326,5242,5446.
已证:2k = 2,6,10,102, 使猜想成立。
未证:2k = 494,794,1326,5242,5446 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k) - 2 是素数,
则 10 是素数 5^(2k) - 2 的原根。
则 1 / [5^(2k) - 2] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2,14,26,50,126,144,260,624,1424.
已证:2k = 2,14,26,50,126,144 使猜想成立。
未证:2k = 260,624,1424 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 2^(2k - 1)+15 是素数,
则 10 是素数 2^(2k - 1)+15 的原根。
则 1 / [2^(2k - 1)+15] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k - 1 的值仅有
2k - 1 = 1,3,5,11,15,23,61,155,203,515,1563.
已证:2k - 1 = 1,3,5,11,15,23,61,155,203 使猜想成立。
未证:2k - 1 = 515,1563 使猜想是否成立?


蔡家雄猜想

若 5^(2k - 1)+24 是素数,
则 10 是素数 5^(2k - 1)+24 的原根。
则 1 / [5^(2k - 1)+24] 具有最大循环节长度。

此时,不超10000的 2k - 1 的值仅有
2k - 1 = 1,3,21,53,195,353,2067,2191,4563.
已证:2k - 1 = 1,3,21,53 使猜想成立。
未证:2k - 1 = 195,353,2067,2191,4563 使猜想是否成立?


寻找:三边长为连续整数及其面积同为整数的海伦三边形?(此题由王守恩给出完美的双曲函数通式)

如下:它好像是挑战人类的智慧!!!

寻找:四边长为连续整数及其面积同为整数的海伦四边形?(待:探讨)

寻找:五边长为连续整数及其面积同为整数的海伦五边形?(待:探讨)
 楼主| 发表于 2018-6-17 22:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-18 06:12 编辑
王守恩 发表于 2018-6-14 11:05
先给一个复杂一点的,就看你怎么化简了!


求如下级数的通式
G1 = 2
G2 = 3
G3 = 5
G4 = 8
G5 = 37
G6 = 45
G7 = 82
G8 = 127
G9 = 590
G10 = 717
G11 = 1307
G12 = 2024
G13 = 9403
G14 = 11427
G15 = 20830
G16 = 32257

不正常的递推公式还是有的:
设 n 是正整数,
G(n+8)=16*G(n+4) - G(n),有点像周易八卦?

但,求:不是 递推公式 的 通项公式 ?

g(4n)=[(8+√63)^n+(8 - √63)^n]/2

g(4n+1)=[g(4n)*(2+√7)]

g(4n+2)=[g(4n)*(2+√7)*(1+√7)/3]

g(4n+3)=[g(4n)*(2+√7)*(1+√7)/3*(1+√7)/2]

g(4n+4)=[g(4n)*(2+√7)*(1+√7)/3*(1+√7)/2*(2+√7)/3]

中括号: [                    ] 表示 取整数。


二次不尽根x的渐近分数的通项公式
设 a, b, c, d 皆为整数,
若 x=(a+b√c)/d 是二次不尽根,
则 x=(a+b√c)/d 的渐近分数的通项公式是存在的!
二次不尽根x 与 循环连分数 是等价的。
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 楼主| 发表于 2018-6-16 19:35 | 显示全部楼层
设 素数p=m^2+1=2,5,17,37,101,197,257,401,577,677,..................

设 素数p=3^(2*n)+2=3,11,83,6563,59051,4782971,282429536483,
2541865828331,150094635296999123,...........................................

则 √p 的渐近分数的通项公式是存在的。

蔡家雄猜想:p=3^(2*n)+2 的素数有无穷多!
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 楼主| 发表于 2018-6-14 13:59 | 显示全部楼层
QQ截图20180614092914.png
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 楼主| 发表于 2018-6-11 06:24 | 显示全部楼层
QQ截图20180611062153.png
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 楼主| 发表于 2018-6-10 09:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-6-9 15:48
佩尔数列:1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,......
还有比这更美的通项吗!!!

王守恩老师:
如何把每个数列都 合二式为一式的统一式 ?

(1)n 为奇数时,Cosh(n×ln(0.5+√1.25)) / √1.25 = 整数,
(2)n 为偶数时,Sinh (n×ln(0.5+√1.25)) / √1.25 = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 兔子数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,......

(1)n 为奇数时,2*Sinh (n×ln((1+√5) / 2)) = 整数,
(2)n 为偶数时,2*Cosh(n×ln((1+√5) / 2)) = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 卢卡斯数列:
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,......

(1)n 为奇数时,√0.5*Cosh(n×ln(1+√2)) = 整数,
(2)n 为偶数时,√0.5*Sinh (n×ln(1+√2)) = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 佩尔数列:
1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,......

(1)n 为奇数时,Sinh (n×ln((1+√2))) = 整数,
(2)n 为偶数时,Cosh(n×ln((1+√2))) = 整数,
(1)式与(2)式 交替计算,得 再生数列:
1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,......
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发表于 2018-6-7 18:42 | 显示全部楼层
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+(10)^2+(11)^2+(12)^2+(13)^2+(14)^2+(15)^2+(16)^2+(17)^2+(18)^2+(19)^2+(20)^2+(21)^2+(22)^2+(23)^2+(24)^2===70^2
还有多少这样的?

点评

再来几次串。3^2+4^2=5^2 也可以。  发表于 2018-6-8 09:16
很好的想法!支持!  发表于 2018-6-7 19:27
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 楼主| 发表于 2018-6-6 09:53 | 显示全部楼层
是这样理解吗?对于一般的一元5次方程

根据伽罗瓦理论:一般的一元5次方程,没有统一的根式解。

根据风花飘i理论:一般的一元5次方程,存在不同的根式解,但没有统一的根式解。
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 楼主| 发表于 2018-6-4 19:10 | 显示全部楼层
勾股方程:
x^2+y^2=z^4

7^2+24^2=5^4
119^2+120^2=13^4
527^2+336^2=25^4
1519^2+720^2=41^4
3479^2+1320^2=61^4
6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解:
x=(2k^2+2k-1)^2-2,
y=4k(k+1)(2k+1),
z=2k^2+2k+1.


费尔马勾股方程

x^2+y^2=z^4,
且 x+y = m^2 .

费尔马勾股方程的通式??
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发表于 2018-5-22 02:10 | 显示全部楼层
;P;P;P;P;P;P;P;P;P;P
 楼主| 发表于 2018-5-22 06:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-6-3 22:40 编辑

数学家可以证明:
我的两个 双条件下 的 最大循环节猜想


设P和2P+1都是素数,

若 (2P+1)  mod  40 ≡ 7 或19 或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。

断言:这个猜想不可能被推翻。


蔡家雄猜想(得证无赏,推翻则奖1万元)

设P为素数,且4P+1同为素数,
若 (4P+1)  mod  40 ≡ 29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
设k为非负整数,
若30k+7和120k+29同为素数,
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

断言:这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 100000000, k++,
If[PrimeQ[7 + 30 k] && PrimeQ[29 + 120 k], s = s + 1;
  Print[s, "---", k, "---", 7 + 30 k, "----", 29 + 120 k, "---",
   MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]



推论:
设 20k - 9 是素数,且 40k - 17 和 80k - 33 都是素数,

则 10 是素数 40k - 17 和 80k - 33 的原根。

则 1 / (40k - 17) 和 1 / (80k - 33) 都具有最大循环节长度。


推论:
设 30k+7 是素数,且 120k+29 和 240k+59 都是素数,

则 10 是素数 120k+29 和 240k+59 的原根。

则 1 / (120k+29) 和 1 / (240k+59) 都具有最大循环节长度。

s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[(PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29] && PrimeQ[240 k + 59]),
  s = s + 1;
  Print[s, "----", 30 k + 7, "----", 120 k + 29, "----", 240 k + 59]]]


数学家难以证明:
我的多个 单条件下 的 最大循环节猜想



蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.        

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/223
1/22222223
1/22222222223
1/222222222222222222222222222222222223
1/22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/337
1/333337
1/3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.        

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/4447
1/4444444447
1/44444444444444444447
1/44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.         

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/887
1/8887
1/888887
1/888888887
1/888888888887
1/888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/229
1/22229
1/22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数,                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624.

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
发表于 2018-5-22 06:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-22 11:06 编辑
蔡家雄 发表于 2018-5-21 20:51
循环节长度是1的奇数倒数:1/3, 1/9

循环节长度是2的奇数倒数:1/11, 1/33, 1/99


蔡老弟!借光!我来出道题,但我不会做。
有这样一个循环小数:
0.000...012345678 999...987654321
她的循环节是这样的:
000...012345678  999...987654321
有这样的循环小数吗?



谢谢elim!我好像会了!
 楼主| 发表于 2018-5-22 07:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-5-27 20:14 编辑

设 n 是奇数,

且 1/n 的循环节长度是 2d,

即  MultiplicativeOrder[10, n] == 2d

若 10^d+1 能被 n 整除,则 1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数。

若 10^d+1 不被 n 整除,则 1/n 是 对折和 没有互补的循环小数。


若 MultiplicativeOrder[10, p] == p - 1,

则 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

如下两个说法,是 等价 的

若 10 是 p 的原根,则 1/p 具有最大循环节长度。

若 1/p 具有最大循环节长度,则 10 是 p 的原根。

(原定理与逆定理 同时成立)



论 1/n 具有最大循环节的充要条件:

设 n = 2^a0*p1^a1*p2^a2*p3^a3*......*ps^as + 1,(p 表示奇素数)

设 d 表示为 (n - 1) / 2 的因子,

则 1/n 具有最大循环节的充要条件:

(i)   n 是奇素数;

(ii)  对于任一小于 (n - 1) / 2 的因子d,(10^d+1) 都不能被 n 整除;

(iii) 当且仅当 d = (n - 1) / 2 时,(10^d+1) 能被 n 整除。
发表于 2018-5-22 11:05 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2018-5-22 09:23
1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同,

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同,

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同,

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同,

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同,

求:X = ??????

嗨!!有这样奇妙的数吗?!苛刻一点:最简分数!!!
发表于 2018-5-22 12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-5-21 21:10 编辑
王守恩 发表于 2018-5-21 20:05
1/X 的循环节长度是36位,

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,


不管 m 是什么正整数,只要它能代表一个长为s的循环节,则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。把它约简一下,就是所要的既约分数。
 楼主| 发表于 2018-5-22 12:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-5-24 13:50 编辑

设 1/n 的循环节长度是偶数2d,

有 10^(2d) - 1 能被 n 整除,

则 (10^d - 1) * (10^d+1) 能被 n 整除,

显然,(10^d - 1) 不被 n 整除。

假若 (10^d - 1) 能被 n 整除,则 1/n 的循环节长度是d,不是2d,与题设矛盾。

推出:

若 1/n 的循环节长度是偶数2d,

且 (10^d +1) 能被 n 整除,

则 1/n 是 对折和 互补为 9 的循环小数。
发表于 2018-5-22 14:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-22 14:55 编辑
蔡家雄 发表于 2018-5-22 12:39
b/a 的循环节长度是36位,( b


b/a 的循环节长度是36位,[( b<a )这个条件好像是多余的?]

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同,

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同,

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同,

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同,

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同,

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同,

求:a = ?  b = ?

b=47619142857285714476190714286
a=333333666667000000333333666667
不管 m 是什么正整数,只要它能代表一个长为s的循环节,
则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。
把它约简一下,就是所要的既约分数。
发表于 2018-5-22 15:57 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-5-22 06:33
蔡老弟!借光!我来出道题,但我不会做。
有这样一个循环小数:
0.000...012345678 999...987654321
...


循环节:12345678 87654321   即约分数=12345679/100000001
循环节:012345678 987654321   即约分数=12345679/1000000001
循环节:0012345678 9987654321   即约分数=12345679/10000000001
循环节:00012345678 99987654321   即约分数=12345679/100000000001
循环节:000012345678 999987654321   即约分数=12345679/1000000000001
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