极限要诀解密：从一个 jzkyllcjl 搞不定的极限问题谈起。

elim

考虑以下的极限问题：定义 a(1)=ln(1+0.5), a(n+1)=ln(1+a(n)),  t(n) = n-2/a(n)
求 lim n(na(n)-2)/ln(n).

定义 t(n) = n-2/a(n), jzkyllcjl 谎称 lim t(n) = 1/3 进而谎称  lim n(na(n)-2)/ln(n) = 0.

jzkyllcjl 碰到的挑战：  a(n) > 1/(3n),  {t(n)} 严格递增， t(n+1) > t(1) + ln(n)/30
是板上钉钉的事实，由此即知 lim t(n) = ∞. 另外从实际计算得到 t(13613189) > 1,
所以退一万步说，增序列 {t(n)} 绝无趋于 1/3 的可能.

老头一再出示他得到谬论 lim t(n) = 1/3 的思路，就是拿不出严格的证明。给他指出
错误的所在，他极力狡辩。但无论如何，数值计算实践否定了他的“分析”结果。狡辩
总归只是狡辩而已。实际数值计算面前他无从自圆其说。计算实践的结果不是政策，
改不了的，所以jzkyllcjl 分析错误翻不了盘。

数学混到副教授的人玩不转的数学题到底有多难？ 求极限是不是就像猜股市，没个
准头？jzkyllcjl 留了一个台阶：他是58界大学生，言外之意，他胡说大家得体谅i些. 呵
呵。

其实极限并不是橡皮泥，谁会捏就跟谁。极限论也不是很难学的数学，jzkyllcjl 一辈
子没得着极限论的要领，不是因为极限论难，而是出于 jzkyllcjl 内因：笨+自命不凡。

言归正传，咱要细说的是极限论。就得先定义极限：
简记无穷实数列 a(1), a(2), a(3), ...., a(n),... 为 {a(n)}.  称 {a(n)} 收敛，有极限为 A,
记作 lim a(n) = A,  是指存在实数A,  对任意 ε > 0, 存在 N，对一切 n > N, |a(n) - A| < ε.

elim

待续

elim

相信有人对极限论很有挫折感(当然没青山对数学的生不如死之感那么严重). 这不是没有原因的。到底这东西有什么用？ 到底有没有什么可遵循的算法可以解决一般的极限问题？

别的不说，就说众所周知的圆周率的值，没有极限的概念就无谱可靠。圆周率只能由极限来定义. 推而广之, 许多现实事物的计量只有通过相应的几何或代数的表示进行分割重组才能被任意逼近从而被确定。这就是微积分思想的实用渊源。人类至少用了两三千年，才真正找到了极限理论赖以建立的平台------实数系. 理论的发展像植物更甚于像建筑，向上生长向下扎根同时进行，而不是建房，先打基础后砌墙上梁, 然后停止发展，等待拆迁推倒重来. 所以先不多谈实数理论.

jzkyllcjl

你这个主贴是歪曲、是胡扯！ 对那个争论的极限，我有专贴批判你。

elim

曲边三角形面积的计算是积分学的内容，但基础就是极限论。
极限四则运算法则的证明，摆到稍后再来介绍。先领会一下
极限论是非常必要的，是人类文明的一大步.

elim

现在介绍极限理论的第一要诀，单调有界定理：单调有界序列必敛．
实数系可以定义为含有理数域，满足阿基米德公理及单调有界定理的有序域．这么说多少有点学究气．不理解这个定义没有关系．只是要强调单调有界定理的重要性．

例1．单位圆的正 2^(n+1)边内接, 外切多边形周长的序列{p(n)} ,{P(n)}依次是单调増，单调减的有界数列．由单调有界定理，它们都收敛．又由面积关系可知 P(n)-p(n) 趋于0 从而二序列趋于共同极限Pi. 圆周率的存在唯一性因此是单调有界定理的简单推论．

例2．设{a(n)}是取值于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的序列．定义0.a(1)=a(1)/10, 假定 0.a(1)...a(n-1) 已定义，定义 0.a(1)...a(n-1)a(n)=0.a(1)...a(n-1)+a(n)/10^n. 据归纳原理，一般的十进制有限小数有了明确的定义．由单调有界定理，等式 0.a(1)a(2)a(3)... =lim a(1)...a(n) 定义了 无尽小数．在这个定义下，0.333…=1/3.

例2说明 谢芝灵，jzkyllcjl 花了成千上万贴搞不定的东西，对人类数学而言根本不是什么事．

jzkyllcjl

由于a(1)=ln（1+0.5）的对数值无法绝对准算出来；a(1)算出后，使用递推题设计算后续自然数的a(n)的有效数字会减少，这样一来，总有足够大的自然数N存在，使n>N的a(n),na(n)与A(n)的递推计算结果，没有有效数字。  所以，你的 t(n+1) > t(1) + ln(n)/30的计算 依据的a(n+1)>1/3(n+1) 对充分大的自然数n 不成立， 因此你无法得到 t(n)趋向于无穷的结论。

jzkyllcjl

由于a(1)=ln（1+0.5）的对数值无法绝对准算出来；a(1)算出后，使用递推题设计算后续自然数的a(n)的有效数字会减少，这样一来，总有足够大的自然数N存在，使n>N的a(n),na(n)与A(n)的递推计算结果，没有有效数字。  所以，你的 t(n+1) > t(1) + ln(n)/30的计算 依据的a(n+1)>1/3(n+1) 对充分大的自然数n 不成立， 因此你无法得到 t(n)趋向于无穷的结论。

jzkyllcjl

由于a(1)=ln（1+0.5）的对数值无法绝对准算出来；a(1)算出后，使用递推题设计算后续自然数的a(n)的有效数字会减少，这样一来，总有足够大的自然数N存在，使n>N的a(n),na(n)与A(n)的递推计算结果，没有有效数字。  所以，你的 t(n+1) > t(1) + ln(n)/30的计算 依据的a(n+1)>1/3(n+1) 对充分大的自然数n 不成立， 因此你无法得到 t(n)趋向于无穷的结论。同理，由于无穷数列{a(n)}中的a(n)算不准 无穷数列的极限定义，单调有界数列收敛定理，对你的这个数列不成立。在你的递推题设条件下，你的一切证明都是无效的。

elim

畜生不如的jzkyllcjl 连放三屁没有什么叠加性．你的【全能近似】实际上的低能与数学分析的真理性毫不相干．n 充分大时 1/n 数值计算结果的有效数字的丧失，能推翻 sin(1/n)<1/n ? 狗屎又吃了多少?