证明素数倒数和发散的方法

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2009/12/14 02:42pm 第 1 次编辑]

陆教授的证明中引用了欧拉恒等式，许多人对这个前提半信半疑。
其实，所谓欧拉恒等式就是算术基本定理，即素因子分解的唯一性。形如：
(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)(...)的式子展开后，必然重现出所有自然数的倒数，而且无一遗漏，一一对应。故上式=1+1/2+1/3+1/4+...(无穷项)
但这样的用处不大，因为实际遇到的问题大多是有限项的。如果要求不大于x的素数倒数和，可以构造如下式子：
(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)...(1+1/p+1/p^2+...+1/p^k)...
该式中，最高项的幂次k=[lnx/lnp]。
显然该式展开后，将重现所有1+1/2+1/3+1/4+...1/x，同时还有许多1/x以后的项，
因此该式>1+1/2+1/3+1/4+...1/x-->lnx+γ
又，1+1/p+1/p^2+...+1/p^k<1+1/p+1/p^2+...+1/p^k+1/p^(k+1)+...(无限项)=1/(1-1/p)=p/(p-1)=1+1/(p-1)=1+1/p+1/p(p-1)
故：(2/(2-1))*(3/(3-1))*(5/(5-1))*...*(p/(p-1))>lnx+γ
两边取对数，ln(1+1/2+1/2*1)+ln(1+1/3+1/3*2)+...+ln(1+1/p+1/p(p-1))>ln(lnx+γ)>lnlnx
然后利用ln(1+a)的展开式，方法和陆教授类似，左端可得到含有1/2+1/3+1/5+..+1/p及一些收敛数列和的式子，右端近似发散于lnlnx，故所有素数倒数和必发散。

qingjiao

陆教授，我这个证明思路有问题吗？

qingjiao

目前人们所能得到的结果是：
1/2+1/3+1/5+...+1/p=lnlnx+A+O(1/lnx)，p<x，A=0.26149721...为一小于1的常数。
如果误差项能确定比O(1/lnx)小得多，例如O(1/√x)，许多问题都可以解决了。

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/12/14 10:10pm 第 1 次编辑]

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  1/2,1/2.---------------------------------------1
  1/3,1/3,1/3.-----------------------------------1
  1/4,1/4,1/4,1/4.-------------------------------1
  1/5,,,,,,,,,,,,,,,,,1/5.-----------------------1
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   *---------------------------------------------1
   *---------------------------------------------1
  1/n,1/n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1/n=1
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