用中国剩余定理计算欧拉函数中的正整数和偶数哥德巴赫猜想的答案

tongxinping

本文的每一段落都经过宋老师的检查。
一个偶然的机会，我还请教了一位博士生导师。收到了这样的回信：“童老师：您好！王老师还未出院。他前几天叫我把您的文章打印后托人带给一位朋友。今天那人从朋友那里打电话来说：未看出您的文章有问题。希望您继续努力，争取完全证明Goldbach猜想。”
欢迎各位在本文的基础上更胜一筹。

白新岭

下面是介绍中国剩余定理的一个连接
<http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86

白新岭

童先生看来一句话也不愿多说，四个字可以把他人给拒之门外，“自娱自乐”。
我想如果谁也不跟帖，谁也不和你讨论，那你是“自娱自乐”呢？还是让大家欣赏呢？

白新岭

我最近有许多自娱自乐的成果：6n类的数在孪生素数对中值（中项）的拆分公式；（或在素数对(Pi,Pi+4)的中值（中项）的拆分公式）。
偶数在孪生素数对集合中的分拆公式，（或在素数对(Pi,Pi+4)中的拆分公式）。
最密4生素数群的组数公式。它们的误差相哈代公式一样不精确，但是可以反映其解的组数变化规律，虽着n的增大，相对误差会一直变小。

白新岭

童先生学识渊博，我是不如童先生的。
有一道小题不知童先生是否可以给个答案。
x+y+z=2009,x,y,z不能整除2，3，5，7这4个互质数（如果先生觉着容易，可以在加条件，难了可以去一个条件），x,y,z是自然数（如果现行的自然数包括0的话，它们也不能取0这个值），问在此种限制条件下，线性不定方程有多少组符合条件的解。

tongxinping

白先生：
看来你已经从自娱自乐发展到自吹自擂了。而且，咄咄逼人，我已经说了几次“悉听尊便就是尊重”，还不肯放过我。那就说一些吧。
先说说交流，当你举6n中3对“1+1”的表法个数（解数）的影响时，我告诉你说在哈代猜想中是用π(p-1)/(p-2)表示的，你回答说不知道哈代猜想。我在回答忽高忽低先生的提问时，又一次谈到哈代猜想，你要我介绍哈代猜想，我说先看一下文章中的公式，你没有了下文。你不断地对“1+1”、“1-1”、“1+1+1”进行实验并用中学中的“二元一次方”的灵感用到“1+1”、“1-1”、“1+1+1”中称为“二元”、“三元”、“多元”，我又与你交流，你躺倒说“我自娱自乐”。我想起美国人卡耐基说过的话，如果一个人自己认为生活得很自在，你又不能使他有所改变，那又何必去煞风景呢。
再说说研究，大学里，不止一位老师说，在研究之前，你要把研究对象及其历史搞清楚。我还看到过这样一个故事，俄国有一个人，一生搞了许多发明创造，可是当他完成时，发现这些发明创造早已经存在，他的一生信息不通，成为后人的笑话。你与他有类似之处，你实验“1+1”的解数时不知有哈代猜想(A)、你实验“1-1”的解数时不知有哈代双生素数猜想、你实验“1+1+1”的解数时不知有哈代猜想(B)而且不知道已经被证明并称为三素数定理，考虑到你在的自娱自乐，别人何必煞风景呢。
后说说自己，经过观察，我明白这里是走投无路的“哥迷”的俱乐部，是形形色色“证明”的收容所，我在这里只是直钩子钓鱼，或者说，读者可以各取所需(批评或认同)。有人劝我，这样做很容易被别人剽窃，我希望被剽窃的越多越好，有人能集各种智慧而早日证明“1+1”，我求之不得，所以，我在贴出《用中国剩余定理计算欧拉函数中的正整数和偶数哥德巴赫猜想的答案》时是这样写的：“欢迎各位在本文的基础上更胜一筹。”我盼望中国人证明“1+1”的心情可以看一看下面的帖子：
蒋春暄写道：
&#35;27  本网成为攻击蒋的境地,但Tongxinping无人攻击！我不明白请网友回答！
很高兴蒋春暄终于反思了，却还是想不明白，我说几句，供你参考。
我一直在说，你我的出发点不同，做法也不一样。
你身披着500年甚至5000年一遇的数学家的大旗，又在大街小巷上滥发小广告，死乞白赖地要行色匆匆的过路人停下来承认你、称赞你几句，这样做不引起别人的反感那才是咄咄怪事。你也不想想，即使过路人在你身上贴满“伟大”的标签，你能据此向国家要奖？还是据此向哥德巴赫、欧拉、哈代－李特伍德等前辈交差？一度叱咤风云的“9+9”～“1+2”正在被越来越多的老百姓看清楚这样一个事实：“9+9”～“1+2”相对于“1+1”不过是“皇帝的新衣”。我在担心别人为你贴标签时，突然发现你也没有穿裤子。
我大声疾呼“9+9”～“1+2”相对于“1+1”不过是“皇帝的新衣”。除了敬请光屁股的数论专家不要再耀武扬威、忘乎所以外，更重要的是希望能换起大家的危机感，要大家知道，“1+1”必须由中国人来证明，功德圆满才不会被别人说什么，不然的话，中国人研究“1+1”只能定格在那些南辕北辙地研究“殆素数”(合数)而光屁股的数论专家的身上。(华罗庚和陈景润用生命的最后几年研究“1+1”，想让中国数论专家穿上衣服的精神值得钦佩。)所以，我更像是一个大街上的告地状者，看与不看由他们自己定，对与不对由他们自己想，我只相信众眼是秤，也就是说，群众的眼睛是雪亮的。

白新岭

既然，童先生觉着不值得与一个自娱自乐，自吹自擂的歌迷爱好者讨论问题，也就不必自找没趣了，应该知难而退。
不过，就像童先生说的那样，当你用高中的知识得到1+1，1-1，1+1+1的结果时，前70，80年已经给出了结果，你不空欢喜一场吗？或许大家都会认为你是剽窃到的，马头换成了牛面。
不过，有的东西可以证明自己的结论不是剽窃到的，也不是马头换了牛面。我在4楼提到的内容都是真的，说多了也没用，仅给童先生一段内容和一个连接，看也行，不看也罢，不要说我又咄咄逼人了，童先生这样心平气和的，徐徐道来，自己问什么要咄咄逼人呢？
有童先生的教导，还是把问题说清楚些，但是不一定能用非常贴切的数学语言表达出来，这点上还请童先生多多包涵。任何一个大于5000的偶数都可以表示成两个孪生素数的和，即x+y=n,n>5000，x,y属于孪生素数对集合中的元素，x,y是孪生素数即可，不一定是一对，单个也可以，但是比需有孪生素数对，举例说明，x,y可以取3，5，7，11，13，17，19，29，31，41，43，....这样的数，但是不需用23，37，47，..等素数。其计算公式如下：
根据我以前对偶数在孪生素数对集合中的分拆，和最近对6n类的数在孪中（孪生素数对的中项）的分拆，得到的结论，今天给出偶数在孪生素数对集合中的分拆公式：
定理1：偶数在孪生素数对集合中的拆分数目，(6n-2)/6n/(6n+2)=1/2/1.
定理2：6n类数在孪生素数对集合中的分拆数目=2*（6n类数在孪中的分拆数目）
所以：6n类数在孪生素数对集合中的分拆数目=2*G2中（6n)=2*INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=2或Pk-2.
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。
对于6n-2或6n+2的公式同一为：INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=2或Pk-2.
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。
这里的素数3没有参与运算，只须另外补上即可。6n类的出6外，其他的都一致，其他的（6n-2，6n+2）只有正好某孪生素数对的一个素数+3时它们会多2组解
连接：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=1347&start=0&#35;2
不知到现在的数学家和以前的数学家是否也给出这样的公式。
里面含有一个系数，比起拉曼纽扬系数来复杂的多。还有比这更复杂的系数，产生在四胞胎素数的均值的2元合成中，它能把一个对模Pi的余数分成4类，能整除的为一类数，占新合成数的(Pj-4)/(Pj-4)^2=1/(Pj-4),最少的合成数占(Pi-8)/(Pi-4)^2.
有个帖子是专门为这个最小调节系数设的，熊一兵给的极限值与我的基本相符8.6520.

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/01/24 09:59am 第 1 次编辑]

下面引用由白新岭在 2010/01/22 11:54am 发表的内容：
童先生学识渊博，我是不如童先生的。
有一道小题不知童先生是否可以给个答案。
x+y+z=2009,x,y,z不能整除2，3，5，7这4个互质数（如果先生觉着容易，可以在加条件，难了可以去一个条件），x,y,z是自然数（如果现 ...

上面的题藏着奇数歌猜的公式，只是限制条件少了，难度降低了，下面给出此题的计算公式：统一形式为：(at^2+bt+c)/2,t=INT[(n-1)/210].  a的值是可以预先计算的，当n能整除条件时，其合成方法因子为[(Pi-1)^3+1]/Pi-1=Pi^2-3Pi+2,不能整除条件时为[(Pi-1)^3+1]/Pi=Pi^2-3Pi+3,所以能整除2的合成法为0，不能整除2的合成法为1；能整除3的合成法为2，不能整除3的合成法为3；能整除5的合成法为12，不能整除5的合成法为13；能整除7的合成法为30，不能整除7的合成法为31；这4个条件可以把210类自然分成2^4=16种合成方法，实际上因为2有一类合成因子为0，这样就减去了一半的合成方法种类，偶数的合成方法都为0.余下的105种余数对应的公式的最高次项系数为各个单条件的乘积，只有一类数的余数可以整除所有的条件（除条件2外），那就是105，所以它的公式2次系数的值为1*2*12*30=720，这是最少的合成方法类数。所有的素数余数，包括1在内，公式中的最高次项的系数同一为1*3*13*31=1209.太多了。下面贴出公式中的a,b,c的值，这样查表就可以求出任何一个2n+1解的组数。
MOD(n,210)→(t^2+3t+2)/2→(t^2+t)/2→(t^2-t)/2→t^2→t→c
1→→→→→0→→→→→639→→→→570→→→→1209→69→0
3→→→→→1→→→→→421→→→→384→→→→806→40→2
5→→→→→0→→→→→585→→→→531→→→→1116→54→0
7→→→→→0→→→→→615→→→→555→→→→1170→60→0
9→→→→→0→→→→→424→→→→382→→→→806→42→0
11→→→→→0→→→→→687→→→→522→→→→1209→165→0
13→→→→→3→→→→→681→→→→525→→→→1209→165→6
15→→→→→3→→→→→423→→→→318→→→→744→114→6
17→→→→→0→→→→→702→→→→507→→→→1209→195→0
19→→→→→3→→→→→696→→→→510→→→→1209→195→6
21→→→→→3→→→→→474→→→→303→→→→780→180→6
23→→→→→3→→→→→738→→→→468→→→→1209→279→6
25→→→→→9→→→→→666→→→→441→→→→1116→252→18
27→→→→→3→→→→→490→→→→313→→→→806→186→6
29→→→→→6→→→→→747→→→→456→→→→1209→309→12
31→→→→→15→→→→→774→→→→420→→→→1209→399→30
33→→→→→10→→→→→516→→→→280→→→→806→266→20
35→→→→→12→→→→→696→→→→372→→→→1080→360→24
37→→→→→15→→→→→780→→→→414→→→→1209→411→30
39→→→→→10→→→→→517→→→→279→→→→806→268→20
41→→→→→21→→→→→810→→→→378→→→→1209→495→42
43→→→→→30→→→→→810→→→→369→→→→1209→531→60
45→→→→→18→→→→→498→→→→228→→→→744→324→36
47→→→→→24→→→→→819→→→→366→→→→1209→525→48
49→→→→→33→→→→→774→→→→363→→→→1170→510→66
51→→→→→25→→→→→558→→→→223→→→→806→410→50
53→→→→→36→→→→→846→→→→327→→→→1209→627→72
55→→→→→45→→→→→756→→→→315→→→→1116→576→90
57→→→→→28→→→→→562→→→→216→→→→806→430→56
59→→→→→45→→→→→843→→→→321→→→→1209→657→90
61→→→→→60→→→→→858→→→→291→→→→1209→747→120
63→→→→→36→→→→→558→→→→186→→→→780→480→72
65→→→→→57→→→→→786→→→→273→→→→1116→684→114
67→→→→→60→→→→→855→→→→294→→→→1209→741→120
69→→→→→40→→→→→570→→→→196→→→→806→494→80
71→→→→→78→→→→→882→→→→249→→→→1209→867→156
73→→→→→81→→→→→873→→→→255→→→→1209→861→162
75→→→→→54→→→→→531→→→→159→→→→744→534→108
77→→→→→81→→→→→843→→→→246→→→→1170→840→162
79→→→→→81→→→→→879→→→→249→→→→1209→873→162
81→→→→→66→→→→→592→→→→148→→→→806→642→132
83→→→→→99→→→→→888→→→→222→→→→1209→963→198
85→→→→→105→→→→→807→→→→204→→→→1116→918→210
87→→→→→70→→→→→594→→→→142→→→→806→662→140
89→→→→→105→→→→→891→→→→213→→→→1209→993→210
91→→→→→126→→→→→858→→→→186→→→→1170→1050→252
93→→→→→85→→→→→595→→→→126→→→→806→724→170
95→→→→→123→→→→→816→→→→177→→→→1116→1008→246
97→→→→→126→→→→→897→→→→186→→→→1209→1089→252
99→→→→→90→→→→→595→→→→121→→→→806→744→180
101→→→→→156→→→→→900→→→→153→→→→1209→1215→312
103→→→→→156→→→→→897→→→→156→→→→1209→1209→312
105→→→→→96→→→→→528→→→→96→→→→720→720→192
107→→→→→156→→→→→897→→→→156→→→→1209→1209→312
109→→→→→153→→→→→900→→→→156→→→→1209→1203→306
111→→→→→121→→→→→595→→→→90→→→→806→868→242
113→→→→→186→→→→→897→→→→126→→→→1209→1329→372
115→→→→→177→→→→→816→→→→123→→→→1116→1224→354
117→→→→→126→→→→→595→→→→85→→→→806→888→252
119→→→→→186→→→→→858→→→→126→→→→1170→1290→372
121→→→→→213→→→→→891→→→→105→→→→1209→1425→426
123→→→→→142→→→→→594→→→→70→→→→806→950→284
125→→→→→204→→→→→807→→→→105→→→→1116→1314→408
127→→→→→222→→→→→888→→→→99→→→→1209→1455→444
129→→→→→148→→→→→592→→→→66→→→→806→970→296
131→→→→→249→→→→→879→→→→81→→→→1209→1545→498
133→→→→→246→→→→→843→→→→81→→→→1170→1500→492
135→→→→→159→→→→→531→→→→54→→→→744→954→318
137→→→→→255→→→→→873→→→→81→→→→1209→1557→510
139→→→→→249→→→→→882→→→→78→→→→1209→1551→498
141→→→→→196→→→→→570→→→→40→→→→806→1118→392
143→→→→→294→→→→→855→→→→60→→→→1209→1677→588
145→→→→→273→→→→→786→→→→57→→→→1116→1548→546
147→→→→→186→→→→→558→→→→36→→→→780→1080→372
149→→→→→291→→→→→858→→→→60→→→→1209→1671→582
151→→→→→321→→→→→843→→→→45→→→→1209→1761→642
153→→→→→216→→→→→562→→→→28→→→→806→1182→432
155→→→→→315→→→→→756→→→→45→→→→1116→1656→630
157→→→→→327→→→→→846→→→→36→→→→1209→1791→654
159→→→→→223→→→→→558→→→→25→→→→806→1202→446
161→→→→→363→→→→→774→→→→33→→→→1170→1830→726
163→→→→→366→→→→→819→→→→24→→→→1209→1893→732
165→→→→→228→→→→→498→→→→18→→→→744→1164→456
167→→→→→369→→→→→810→→→→30→→→→1209→1887→738
169→→→→→378→→→→→810→→→→21→→→→1209→1923→756
171→→→→→279→→→→→517→→→→10→→→→806→1344→558
173→→→→→414→→→→→780→→→→15→→→→1209→2007→828
175→→→→→372→→→→→696→→→→12→→→→1080→1800→744
177→→→→→280→→→→→516→→→→10→→→→806→1346→560
179→→→→→420→→→→→774→→→→15→→→→1209→2019→840
181→→→→→456→→→→→747→→→→6→→→→1209→2109→912
183→→→→→313→→→→→490→→→→3→→→→806→1426→626
185→→→→→441→→→→→666→→→→9→→→→1116→1980→882
187→→→→→468→→→→→738→→→→3→→→→1209→2139→936
189→→→→→303→→→→→474→→→→3→→→→780→1380→606
191→→→→→510→→→→→696→→→→3→→→→1209→2223→1020
193→→→→→507→→→→→702→→→→0→→→→1209→2223→1014
195→→→→→318→→→→→423→→→→3→→→→744→1374→636
197→→→→→525→→→→→681→→→→3→→→→1209→2253→1050
199→→→→→522→→→→→687→→→→0→→→→1209→2253→1044
201→→→→→382→→→→→424→→→→0→→→→806→1570→764
203→→→→→555→→→→→615→→→→0→→→→1170→2280→1110
205→→→→→531→→→→→585→→→→0→→→→1116→2178→1062
207→→→→→384→→→→→421→→→→1→→→→806→1572→768
209→→→→→570→→→→→639→→→→0→→→→1209→2349→1140
MOD(2009,210)=119,t=INT[(2009-1)/210]=9.所以2009的解组数为余数119对应的公式，把t用9代替后的值。Z(2009)=(1170*t^2+1290*t+372)/2=(1170*9^2+1290*9+372)/2=53376

白新岭

上面的问题还有另一种解决方案：=1/(3-1)!*调节系数*符合条件的元素个数^3/n,
这里的1/(3-1)!=1/2=0.5,对于m个未知数时，应该乘1/（m-1)!，这也是我的签名公式中的一个常数项（当未知数的个数确定时），调节系数=各个单条件的调节系数积，每个单条件的调节系数=条件（我一般称它为周期）*合成方法/本条件的总合成方法，任何这样的限制条件的总合成方法为(Pi-1)^m,(m为未知数的个数），每个单条件的合成方法都是两种，当m为偶数时，n能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi+1,n不能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi；当m为奇数时，n能整除条件时为[(Pi-1)^m+1]/Pi-1,n不能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi+1。这里m=3是奇数，所以用后一种。
在这里符合条件的元素个数=n∏(1-1/Pi).Pi是所有给的限制条件，这里为2，3，5，7，给条件时必须限定互质（但是不一定为素数，合数也可以当条件）。
这样解决这个问题的办法就有了，调节系数=2*3*5*7*（1*3/8*13/64*30/216）=2.2216796875，元素个数=2009*1/2*2/3*4/5*6/7=459.2，一切就绪，代入上面的式子：1/2*2.2216796875*459.2^3/2009=53539.85,  这个值与上面的53376，相差163.85.  相对误差：163.85/53376=0.0030697，如果不是要求精确的解组数，对此类问题这样处理是最好的办法（真求实际的组数，那是非常难得，特别是更多元的）。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/01/24 11:51am 第 1 次编辑]

现在证明:x+y+z+....+u=n,共有m个未知数的非负整数解的组数为C(n+m-1,m-1),即从n+m-1个物体中，抽取m-1个物体的方法数。（因为自己不能用数学公式软件写出它的标准形式）。
证明以前，先证明X+Y+Z+....+U=n的正整数解的组数为C(n-1,m-1)。
证明：把n个物体排列成一排，从这n个物体的n-1个空隙中，置放m-1个木板，把这n个物体分成m组有序点集的元素（x,y,z,...,u).所以置放木板的方法数就是方程的正整数解的组数，命题得证。
然后另x=X-1,y=Y-1,z=Z-1,....,u=U-1,代入方程x+y+z+....+u=n，得到X+Y+Z+....+U=n+m,这个方程的正整数解的组数就是原方程的非负正整数解的组数，而这个方程的正整数解的组数为：C(n+m-1,m-1),所以原命题正确。
在8楼中用到了此结论，小于210的符合条件的元素进行3维加法合成，分别落到3个周期内（即落到630以内的奇数位上），大于210的，符合条件的元素不在参与此种运算，而是把210看成一个整体1来进行分步处理，这样周期t就用本楼的结论来计算，t相当于本命题中的n,m=3,也把t分成三种情况，方法落到第一周期的（指210内的基本元素的3维合成值），就用t本身；方法落到第二周期的，用t-1；方法落到第三周期的，用t-2。这样得到三个加权值的和，就是总组数。【基本元素的3维加法合成与把210看成整体1的周期方法为分步关系，用乘法计数，每个周期的不同方法属于分类，用加法计数，即各周期的基本元的合成方法*对应周期的整体t的方法，然后三个周期的值再相加】。