判断一个人的成绩在一个班级总体中的高低好坏，不仅与平均值有关，也与标准差有关

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

國文平均60分  標準差  10     
數學平均60分  標準差  0.5
小明 國文80 分 資料標準化後  (80-60)/10=2   
      數學64分   標準化後  (66-64) /0.5=4  
所以小明在班上數學比國文好  就標準化角度
但是明明國文比平均多20分 數學比平均多4分 理論上應該是國文比較好
我目前是在同單位下比較  請問這應該怎麼解釋這直觀現象?

luyuanhong

判断一个人的成绩在一个班级总体中的高低好坏，不仅与平均值有关，也与标准差有关。

下面举一个明显的例子：

设某班共有 128 人。

全班国文成绩是：

4 人 90 分，6 人 80 分，4 人 70 分，100 人 60 分，4 人 50 分，6 人 40 分，4 人 30 分。

小明的国文成绩为 80 分，在全班中只能算是中等偏上，并不十分突出。

全班数学成绩是：

1 人 64 分，126 人 60 分，1 人 56 分。

小明的数学成绩是 64 分，是全班的最高分数，而且是全班独一无二的最高分数。

这样看来，小明的数学在班上的地位，显然要比国文地位更高，也就是说，他的数学，要比国文更好。

小明数学的 64 分低于国文的 80 分，为什么我们还是认为他的数学成绩比国文更好呢？

这就是因为成绩的相对好坏，不仅与平均值有关，也与标准差有关。我们可以算出：

全班国文成绩的平均值是 60 分，标准差是 10 分。小明的国文成绩标准化后为

          (80-60)/10 = 2 。

全班数学成绩的平均值是 60 分，标准差是 0.5 分。小明的数学成绩标准化后为

          (64-60)/0.5 = 8 。

从标准化后的成绩来看，8 显然大于 2 ，所以小明数学成绩相对比国文更好，也就不奇怪了。