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【趣味题】成等差数列的勾股数有多少?

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发表于 2018-6-14 03:50 | 显示全部楼层 |阅读模式


5^2-4^2-3^2===0(差1)

(1280)^2-(1024)^2-(768)^2===0(差256)

12960^2-10368^2-7776^2===0(差2592)

……
发表于 2018-6-14 07:55 | 显示全部楼层
勾股数要成为等差数列,只可能有下列两种解:

(一)(3d)^2+(4d)^2=(5d)^2 ,d∈I 。

(二)(-d)^2+0^2=d^2 ,d∈I 。

如果不允许出现 0 和负数,则只有上面(一)这种解。

点评

谢谢陆老师!简单明了。  发表于 2018-6-14 12:23
 楼主| 发表于 2018-6-14 12:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 风花飘飘 于 2018-6-15 01:46 编辑

【代数表达式】:
a=(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))
b=(16*m^4*n^4*2*m*n)
c=(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))

【1】a-b=b-c   =>  a+c=2*b :
(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))+(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))=2*(16*m^4*n^4*2*m*n)
即 32*m^6*n^4=64*m^5*n^5
m=2*n

【2】a-c=c-b  =>  a+b=2*c :
(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))+(16*m^4*n^4*2*m*n)=2*(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))
即16*m^4*n^6+32*m^5*n^5+16*m^6*n^4= 32*m^6*n^4-32*m^4*n^6
得3*n^2+2*m*n-m^2=0
解方程得
m1=3*n  
m2= - n(这个可以舍去)

【结论】:
当m=2*n与m=3*n时,可求得a、b、c为等差勾股数,这里暗含m与n都是正整数(主任说了√1,√2,√3,√4,√5……都是正整数)。

【拓展】:
因为由下式m与n数对表示的本身就是全部的勾股数组,就直接拿来用啦:
a=m^2+n^2
b=2*m*n
c=m^2-n^2

<1>把m=2*n代入得:
a=m^2+n^2  =5*n^2
b=2*m*n       =4*n^2
c=m^2-n^2   =3*n^2

<2>把m=3*n代入得:
a=m^2+n^2   =10*n^2
b=2*m*n        =6*n^2
c=m^2-n^2    =8*n^2

偶了,就这样吧!n取正整数(《单位论》里说了√1,√2,√3,√4,√5……都是正整数,呵呵)。





 楼主| 发表于 2018-6-14 13:14 | 显示全部楼层
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