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[这个贴子最后由任在深在 2011/08/04 08:22pm 第 1 次编辑]
证明:
(1) 2n=Pn+Qn
1.n=1
2n=2, P1=1,Q1=1
(1)式左边=2,
右边=1+1
即 2=1+1
2.n=2
2n=4,P1=1,P2=3
左边=4
右边=1+3
即 4=1+3
3.n=i,
2n=2i, 令(2) Pj=[(ApNp+48)ˆ1/2-6]ˆ2,
(3) Qk=[(AqNq+48)ˆ1/2]ˆ2
则 (4) 2i=Pj+Qk
因为 (5) 2n={[Apq(Np+Nq)+48]ˆ1/2-6}ˆ2
2n+12(√2n-1)
(6)Apq=----------------
Np+Nq
2i+12(√2i-1)
所以 左边= 2n={[---------------(Np+Nq)+48]ˆ1/2-6}ˆ2
Np+Nq
={[2i+12√2i-12+48]ˆ1/2-6}ˆ2
={[2i+12√2i+36]ˆ1/2-6}ˆ2
={[(√2i+6)ˆ2]ˆ1/2-6}ˆ2
=(√2i+6-6)ˆ2
=(√2i)ˆ2
=2i
右边=Pn+Qn
=[(AjNj+48)ˆ1/2-6]ˆ2+[(AkNk+48)ˆ1/2-6]ˆ2
Pj+12(√Pj-1) Pk+12(√Pk-1)
=[(---------------*Nj+48)ˆ1/2-6]ˆ2+[(-----------------Nk+48)ˆ1/2-6]ˆ2
Nj Nk
=Pj+Pk
所以 2i=Pj+Pk, 与题设一致,当n=i时正确。
4.当n=i+1时,
2n=2(i+1)
令Pn=Pv=[(AvNv+48)ˆ1/2-6]ˆ2
Qn=Qw=[(AwNw+48)ˆ1/2-6]ˆ2
则 2(i+1)=Pv+Qw
因为 计算过程略。
左边=2n={[Avw(Nv+Nw)+48]ˆ1/2-6}ˆ2
=2(i+1)
右边=Pv+Qw
因此 2(i+1)=Pv+Qw
当n=i+1时也与题设一致,所以哥德巴赫猜想成立。
因为 n=1,n=2,,,以及n=i,n=i+1时哥德巴赫猜想都成立,所以哥德巴赫猜想正确!
证毕。
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