至今还没有任何人解出来的世界难题——“大圆包小圆”问题

luyuanhong

[题] 将 n 个半径为 1 的小圆互不重叠地放在一个半径为 R 的大圆中，求大圆半径 R 的最小值。
    据我所知，这是一个至今世界上还没有任何人能够解出来的世界难题。
    当小圆的个数 n 比较小时，这个问题还是比较容易解答的。
    下面是 n＝2,3,4,5,6,7,8,9,10 时，我求出来的部分解答（最后一个 n＝10 时的解答到底对不对，我没有十分的把握。）
    当 n 是更大的整数时，我就束手无策了。所以，衷心欢迎对此感兴趣的朋友们一起来研究解决这个世界难题。

技术员

陆教授，不知我的思路对你有用不？n较大时，你可利用蜂窝原理，适当地改变大园的直径来适合小圆。

luyuanhong

楼上技术员的想法，看来有些道理。

天山草

这个问题，历史上有人研究过，等同于“半径为 R 的圆形笔筒内能放多少支半径为 r 的圆铅笔”的问题。也类似于“圆内有多少整数格点”问题。研究的焦点不是对于具体的 R 和 r，答案是多少，而是当 R/r 趋于无穷大时，渐近解的表达式是什么。

天山草

这类问题，就好象是“不大于 x 的正数中，有多少个素数？”的问题一样，一般很难找到一个万能公式，对任意的 x 都适用而没有一点儿误差。能找到一个准确的渐近公式就不错了。
    若是能找到一个象“斯特林公式”那样的无穷级数，将是超级成果。

技术员

在n不大的情况下，可先考虑n=1+3m(m+1)（m从1到+∞的自然数）如图所示，黑色大圆内的小圆19=1+3*2*（2+1），此时m=2;但还有一种情况，在如图所示的红色大圆中可挤>6m个红色小圆(我们暂考虑=6m)，这种情况下有可能大圆的利用率高，计算如下：
1。设小圆的半径为1。
2。不挤红色小圆的情况：黑色大圆面积为π(2m+1)^2,内所有小圆的总面积为π(1+3m(m+1))^2
3。挤红色小圆的情况：红色大圆面积为π(2sqrt(m^2+m+1)+1)^2(sqrt为开平方）,内所有小圆的总面积为π(1+3m(m+1)+6m)^2.
算到这里我就不知道怎么办了，请陆教授再考虑一下，希望能互相启发，谢谢。

luyuanhong

楼上技术员能够积极动脑筋找规律，很好！我的看法如下：

wangyangke

（笑话）继鲁思顺——定理：鲁思顺是个二百五！——之后，陕西雷明举重若轻，轻松证明哥德巴赫猜想

yangchuanju

wangyangke 发表于 2022-5-23 04:55
（笑话）继鲁思顺——定理：鲁思顺是个二百五！——之后，陕西雷明举重若轻，轻松证明哥德巴赫猜想

感谢王老师翻出坛主陆教授2008年的博贴，并把它顶了起来！
然王老师对坛主陆教授的评论不太恰当吧！

yangchuanju

大圆包小圆问题
设所有小圆的直径都是1，求当小圆个数等于1,2,3，……n时，大圆最小直径是多少？
当小圆个数等于1时，大圆直径等于1；
当小圆个数等于2时，大圆直径等于2；
当小圆个数等于3时，小圆成正三角形排列，三角形外接圆半径=0.5/cos30=0.5/0.866025404=0.577350269，大圆直径等于外接圆直径+1=2.154700538；
当小圆个数等于4时，小圆成正方形排列，正方形外接圆半径=0.5/cos45=0.5/0.707106781=0.707106781，大圆直径等于外接圆直径加1=2.414213562；
当小圆个数等于5时，小圆成正五边形排列，正五边形外接圆半径=0.5/cos54=0.5/0.587785252=0.850650808，大圆直径等于外接圆直径加1=2.701301617；
当小圆个数等于6时，小圆成正六边形排列，正六边形外接圆半径=0.5/cos60=0.5/0.5=1，大圆直径等于外接圆直径加1=1*2+1=3；
  当小圆个数等于6时另一种排列法，6个小圆分成3+3两圈，外圈圆圆心在边长等于2的正三角形的角点处，大圆直径等于[0.866+(0.866-0.577)]*2=3.309401077，非最小；按层数为3+2+1；